Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc $SBD=60^0$. Tính theo $a$ khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SO$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),O(\frac{a}{2};\frac{a}{2};0),S(0;0;h)$.

**Tìm $h$ từ góc $SBD=60^{\circ }$:** Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BD$; vì $ABCD$ là hình vuông nên $H\equiv O$ (chân đường cao hạ từ đỉnh xuống đường chéo). Khi đó $AH\perp BD\Rightarrow SH\perp BD$, tam giác $SHB$ vuông tại $H$ với $AH=HB=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.
$$\tan \widehat{SBD}=\frac{SH}{HB}=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{6}}{2}$$
$$h^2=S{H}^2-A{H}^2=\frac{6a^2}{4}-\frac{2a^2}{4}=a^2\Rightarrow h=a.$$

**Tính khoảng cách giữa $AB$ và $SO$:**
${\vec{u}}_{AB}=(1;0;0)$, ${\vec{u}}_{SO}=\overrightarrow{OS}=(-\frac{a}{2};-\frac{a}{2};a)$, $\vec{w}=\overrightarrow{AS}=(0;0;a)$.
$$\vec{w}\times {\vec{u}}_{SO}=\left(-\frac{a^2}{2};\frac{a^2}{2};0\right),{\vec{u}}_{AB}\times {\vec{u}}_{SO}=(0;a;0),\left|{\vec{u}}_{AB}\times {\vec{u}}_{SO}\right|=a.$$
$$d(AB,SO)=\frac{\left|{\vec{u}}_{AB}\cdot (\vec{w}\times {\vec{u}}_{SO})\right|}{|{\vec{u}}_{AB}\times {\vec{u}}_{SO}|}=\frac{a^2/2}{a}=\frac{a}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+1/4}}\text{(theo coˆng thức tổng quaˊt }\frac{ah}{\sqrt{h^2+a^2/4}})$$
Cụ thể với $h=a$: $d=\frac{a\cdot a/2}{\sqrt{a^2+a^2/4}}=\frac{a^2/2}{a\sqrt{5}/2}=\frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}$.

Vậy đáp án là $\frac{a\sqrt{5}}{5}$.