Trong không gian, cho hình lăng trụ $ABCD.MNPQ$ có tất cả các cạnh bằng $\sqrt{3}$, đáy $ABCD$ là hình thoi và $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Các mặt phẳng $(ADQM),(ABNM)$ cùng tạo với đáy của lăng trụ góc $\alpha$ thỏa mãn $\tan \alpha =2\sqrt{11}$ và hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(MNPQ)$ nằm bên trong hình thoi $MNPQ$. Gọi $O$ là điểm cách đều bốn đỉnh tứ diện $AMNQ$. Biết thể tích khối chóp $O.ABM$ có giá trị bằng $V$. $V^2=\frac{a}{b}$, $a,b$ là số tự nhiên, phân số $\frac{a}{b}$ tối giản. Tính $S=a+b$.

Cho tam giác ABC đều cạnh 4 và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Các điểm M và N thay đổi trên Δ sao cho ΔMHN vuông tại H.

a) Chứng minh đường thẳng MH vuông góc với mặt phẳng (NBC).

b) Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN.

c) Gọi K là điểm thay đổi trên đoạn thẳng AH (K ≠ A, K ≠ H). Gọi $K_1,K_2,K_3,K_4$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm K lên các mặt phẳng (NBC), (MBC), (MNC), (MNB). Chứng minh $K{K}_1^2+K{K}_2^2+K{K}_3^2+K{K}_4^2\ge 4$.

Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam $A$ cách mặt đất $5m$, cách điểm xuất phát $3m$ về phía Nam và $2m$ về phía Đông. Chiếc flycam $B$ cách mặt đất $5m$, cách điểm xuất phát $6m$ về phía Bắc và $6m$ về phía Tây. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất có trục $Ox$ hướng về phía Nam, trục $Oy$ hướng về phía Đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo mét (xem hình vẽ).



Trên mặt đất người ta xác định một vị trí $M(a;b;c)$ sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai chiếc flycam ngắn nhất. Tính $b-a+c$.

(3,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AD\parallel BC$, $AB=BC=a$, $AD=2a$. Tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và $SB=a\sqrt{3}$.
1. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$, chứng minh rằng $BM\parallel (SCD)$.
2. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $BM$ và $CD$.
3. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, $H$ là giao điểm của đường thẳng $BG$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính tỉ số $\frac{HB}{HG}$.

Câu 4: Bạn An đang nằm nghe nhạc trong phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng 4 m, chiều cao của phòng là 3,2 m và phát hiện ra hai con nhện đang chằng to trong căn phòng của An, hai con nhện luôn di chuyển trên hai đường thẳng khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hoá là hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $ABCD$ là nền phòng của An thì con nhện thứ nhất được coi như điểm $E$ di chuyển trên đường thẳng nối từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $C{C}^{\prime }$, còn con nhện thứ hai được coi như điểm $F$ di chuyển trên đường thẳng nối từ $D^{\prime }$ đến tâm $I$ của mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa hai con nhện khi đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà (đơn vị mét, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát $2,5km$ về phía nam và $1,5km$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $60m$. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát $3km$ về phía bắc và $2,5km$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $40m$. Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng).
Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a$ km theo hướng bắc và $b$ km theo hướng tây. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Một nhà kho có nền $ABFE$ là hình chữ nhật với mái nghiêng, chiều dài $AE=30m$, chiều rộng $AB=10m$, chiều cao $BC=15m$ và $AD=20m$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất. Ở đó $A(0;0;0)$, $E(30;0;0)$, $B(0;10;0)$, $D(0;0;20)$ và $Q(10;30;0)$ (như hình vẽ).