(3,0 điểm) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AD\parallel BC$, $AB=BC=a$, $AD=2a$. Tam giác $SAD$ vuông cân tại $S$ và $SB=a\sqrt{3}$.
1. Gọi $M$ là trung điểm của $SA$, chứng minh rằng $BM\parallel (SCD)$.
2. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng $BM$ và $CD$.
3. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SCD$, $H$ là giao điểm của đường thẳng $BG$ và mặt phẳng $(SAC)$. Tính tỉ số $\frac{HB}{HG}$.

Câu 4: Bạn An đang nằm nghe nhạc trong phòng hình hộp chữ nhật, sàn nhà là hình vuông cạnh bằng 4 m, chiều cao của phòng là 3,2 m và phát hiện ra hai con nhện đang chằng to trong căn phòng của An, hai con nhện luôn di chuyển trên hai đường thẳng khác nhau. Giả sử căn phòng được mô hình hoá là hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $ABCD$ là nền phòng của An thì con nhện thứ nhất được coi như điểm $E$ di chuyển trên đường thẳng nối từ đỉnh $A$ đến trung điểm $M$ của $C{C}^{\prime }$, còn con nhện thứ hai được coi như điểm $F$ di chuyển trên đường thẳng nối từ $D^{\prime }$ đến tâm $I$ của mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$. Tính khoảng cách giữa hai con nhện khi đường thẳng đi qua hai con nhện vuông góc với trần nhà (đơn vị mét, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát $2,5km$ về phía nam và $1,5km$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $60m$. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát $3km$ về phía bắc và $2,5km$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $40m$. Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng).
Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a$ km theo hướng bắc và $b$ km theo hướng tây. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Một nhà kho có nền $ABFE$ là hình chữ nhật với mái nghiêng, chiều dài $AE=30m$, chiều rộng $AB=10m$, chiều cao $BC=15m$ và $AD=20m$. Xét hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất. Ở đó $A(0;0;0)$, $E(30;0;0)$, $B(0;10;0)$, $D(0;0;20)$ và $Q(10;30;0)$ (như hình vẽ).

Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát $2,5km$ về phía nam và $1,5km$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $60m$. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát $3km$ về phía bắc và $2,5km$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất $40m$. Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng).
Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ $a$ km theo hướng bắc và $b$ km theo hướng tây. Khi đó $a+b$ bằng bao nhiêu?

Câu 2. Hệ thống định Toàn Cầu GPS hiện tại có 24 vệ tinh, mỗi vệ tinh cách Trái Đất 20000 km, ta coi Trái Đất là khối cầu có bán kính $R=6$ (nghìn km). Với một hệ tọa độ $Oxyz$ đã chọn, $O$ là tâm Trái Đất và đơn vị trên mỗi trục là nghìn km, hai vệ tinh có tọa độ $A(26;0;0)$, $B(0;26;0)$. Xét điểm $M(x;y;z)$ thuộc bề mặt Trái Đất. Tính giá trị nhỏ nhất của $MA+MB$ theo đơn vị nghìn km (làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 5. Trong một công viên có một hồ nước và một đường đi lát gạch hoa. Thiết lập hệ trục Oxy như hình vẽ dưới, kiến trúc sư thấy rằng bờ hồ có thể coi một nhánh của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ và đường đi khi đó ứng với đường thẳng $(d):y=-x+4$. Để đảm bảo ánh sáng, kiến trúc sư muốn đặt 2 cột đèn trên bờ hồ và 2 cột đèn trên đường đi sao cho 4 cột đèn này tạo thành một hình vuông. Tính khoảng cách giữa hai cột đèn trên bờ hồ (làm tròn đến hàng phần trăm).