(3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên cạnh $BC$; $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $H$; $K$ là hình chiếu vuông góc của $C$ trên đường thẳng $AD$. Giả sử $H(-5;-5)$, $K(9;-3)$ và trung điểm của cạnh $AC$ thuộc đường thẳng $x-y+10=0$. Tìm tọa độ điểm $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $H$ làm gốc, gọi $p$ là vectơ đơn vị chỉ phương $BC$, $q\perp p$. Khi đó $A=H+hq$, $D=H+dp$, $B=H-dp$, $C=H+cp$ với $h,d,c>0$ (dấu đã hấp thụ vào $q$).

**1) Điều kiện vuông tại $A$:** $(B-A)\cdot (C-A)=(-d,-h)\cdot (c,-h)=-cd+h^2=0\Rightarrow h^2=cd$.

**2) Hình chiếu $K$ của $C$ trên $AD$:** Phương trình $AD$ có vectơ chỉ phương $v=(d,-h)$. Tính toán cho
$$K-H=\alpha p+\beta q,\alpha =\frac{2d{h}^2}{d^2+h^2},\beta =\frac{h(d^2-h^2)}{d^2+h^2}.$$
Vì $CK\perp AD$ nên $|K-H{|}^2={\alpha }^2+{\beta }^2=h^2(d^2+h^2{)}^2/(d^2+h^2{)}^2=h^2$. Mặt khác $K-H=(14;2)$ nên $|K-H{|}^2=14^2+2^2=200\Rightarrow h^2=200$.

**3) Điều kiện trung điểm $M$ của $AC$ thuộc $x-y+10=0$:** Vì $H(-5;-5)$ cho $x-y+10=10$ tại $H$, điều kiện tương đương $(M-H{)}_x-(M-H{)}_y=-10$. Viết $p=(m,n)$, $q=(-n,m)$, từ $\alpha m-\beta n=14$, $\alpha n+\beta m=2$ suy ra $m-n=\frac{3\alpha +4\beta }{50}$, $m+n=\frac{4\alpha -3\beta }{50}$. Với $c=h^2/d$, $r=h/d$, điều kiện trở thành (sau khi rút gọn, dùng $h^2=cd$):
$$h^2(4r-3)=1000.$$
Kết hợp $h^2=200$: $200(4r-3)=1000\Rightarrow r=2$, suy ra $d=h/2$, $c=h^2/d=20\sqrt{2}$, với $h=10\sqrt{2}$, $d=5\sqrt{2}$.

**4) Tìm phương:** $\alpha =\frac{2\cdot 5\sqrt{2}\cdot 200}{250}=8\sqrt{2}$, $\beta =\frac{10\sqrt{2}(50-200)}{250}=-6\sqrt{2}$. Suy ra $m=\frac{14\alpha +2\beta }{200}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $n=\frac{2\alpha -14\beta }{200}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vậy $p=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, $q=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

**5) Tọa độ:**
$$A=H+hq=(-5;-5)+10\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=(-15;5).$$
Kiểm tra: $D=H+dp=(0;0)$, $B=(-10;-10)$, $C=(15;15)$.
- $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(5;-15)\cdot (30;10)=150-150=0$: vuông tại $A$. ✓
- $\overrightarrow{AH}=(10;-10)\perp p=(1;1)$: $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$. ✓
- $\overrightarrow{AK}=(24;-8)$ cùng phương $(3;-1)$ với $\overrightarrow{AD}=(15;-5)$, và $\overrightarrow{CK}=(-6;-18)\cdot (3;-1)=-18+18=0$: $K$ là hình chiếu của $C$ trên $AD$. ✓
- Trung điểm $AC$ là $(0;10)$: $0-10+10=0$. ✓

Vậy $A(-15;5)$.