(3,0 điểm) Cho hàm số bậc hai là $f(x)=2x^2-3x-1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(5\sin 2x-3m)=1$ có đúng 5 nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{2}\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(5\sin 2x-3m)=1\iff 2(5\sin 2x-3m{)}^2-3(5\sin 2x-3m)-1=1$ $\iff 2t^2-3t-2=0$ với $t=5\sin 2x-3m$ $\iff t=2$ hoặc $t=-\frac{1}{2}$.

Do đó $\sin 2x=\frac{3m+2}{5}$ (1) hoặc $\sin 2x=\frac{6m-1}{10}$ (2).

Với $x\in \left[\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{2}\right]$ thì $2x\in \left[\frac{\pi }{2};3\pi \right]$. Trên đoạn này:
- $\sin u=0$ có 3 nghiệm $u\in \{\pi ;2\pi ;3\pi \}$;
- $\sin u=c$ với $c\in (-1;1)\setminus \{0\}$ có đúng 2 nghiệm;
- $\sin u=\pm 1$ có đúng 1 nghiệm;
- $|c|>1$: vô nghiệm.

Vậy phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi một trong hai phương trình (1),(2) có hệ số bằng 0 (cho 3 nghiệm) và phương trình còn lại có hệ số thuộc $(-1;1)\setminus \{0\}$ (cho 2 nghiệm).

Trường hợp 1: $\frac{3m+2}{5}=0\iff m=-\frac{2}{3}$. Khi đó $\frac{6m-1}{10}=\frac{-4-1}{10}=-\frac{1}{2}\in (-1;0)$, cho 2 nghiệm $x=\frac{7\pi }{12},\frac{11\pi }{12}$; phương trình $\sin 2x=0$ cho 3 nghiệm $x=\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$. Tổng cộng 5 nghiệm phân biệt: thỏa mãn.

Trường hợp 2: $\frac{6m-1}{10}=0\iff m=\frac{1}{6}$. Khi đó $\frac{3m+2}{5}=\frac{1/2+2}{5}=\frac{1}{2}\in (0;1)$, cho 2 nghiệm $2x=\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6}$; phương trình $\sin 2x=0$ cho 3 nghiệm. Tổng cộng 5 nghiệm phân biệt: thỏa mãn.

Các trường hợp còn lại (một hệ số bằng $\pm 1$ hoặc cả hai khác 0 và khác $\pm 1$) chỉ cho tối đa 4 nghiệm hoặc 3 nghiệm, không thỏa mãn.

Kết luận: $m\in \left\{-\frac{2}{3};\frac{1}{6}\right\}$.