Câu 23HSGChuyên đề: Thể tích theo diện tích thiết diện • Lớp 12Đại lượng tích lũy và tốc độ biến thiênVận dụng cao#secondary:M12.C11.INTEGRAL_APPLICATION.L3.ACCUMULATION#curriculum:undetermined
Một cái chậu đựng nước có dạng hình chóp cụt đều đáy là các tam giác cạnh bằng 1 dm và 3 dm. Chiều cao chậu nước bằng 4 dm. Người ta bơm nước vào chậu với lưu lượng không đổi 0,5 lít/phút. Gọi là độ dài cạnh tam giác đều theo mực nước tức thời ( thay đổi), là chiều cao tương ứng của mực nước ở thời điểm đó (hình vẽ minh họa). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau? 
Một cái chậu đựng nước có dạng hình chóp cụt đều đáy là các tam giác cạnh bằng 1 dm và 3 dm. Chiều cao chậu nước bằng 4 dm. Người ta bơm nước vào chậu với lưu lượng không đổi 0,5 lít/phút. Gọi là độ dài cạnh tam giác đều theo mực nước tức thời ( thay đổi), là chiều cao tương ứng của mực nước ở thời điểm đó (hình vẽ minh họa). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Đặt (hàm số bậc nhất theo ). Khi đó .
b)
Thể tích nước tức thời là .
c)
Sau 10 phút thì chiều cao của lượng nước trong chậu là 3,26 (dm) (làm tròn đến hàng phần trăm).
d)
Đến phút thứ 10 thì tốc độ dâng lên của nước trong chậu là 0,17 dm/phút (làm tròn đến hàng phần trăm).
Đáp án chính thức: a:S,b:Đ,c:S,d:Đ
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Chậu hình chóp cụt đều, đáy dưới cạnh 1 dm, đáy trên cạnh 3 dm, chiều cao 4 dm. Theo đồng dạng, cạnh tam giác đều của mặt nước tại chiều cao h là MN = 1 + (3-1)/4 · h = 0,5h + 1.
a) Sai: MN = 0,5h + 1 (h=0 cho MN=1, h=4 cho MN=3, hệ số góc a = 2/4 = 0,5), không phải h + 1.
b) Đúng: Diện tích mặt nước S(h) = (√3/4)MN² = (√3/4)(0,5h+1)². Thể tích V(h) = ∫₀ʰ S(t)dt = (√3/4)(h³/12 + h²/2 + h) = (√3/12)(0,25h³ + 1,5h² + 3h).
c) Sai: Sau 10 phút, V = 0,5·10 = 5 dm³, nên 0,25h³ + 1,5h² + 3h = 20√3 ≈ 34,641. Thử h = 3,27 cho ≈ 34,59; h = 3,28 cho ≈ 34,80; nghiệm h ≈ 3,2727 → làm tròn 3,27 dm, không phải 3,26.
d) Đúng: Tốc độ dâng dh/dt = 0,5/S(h). Tại h ≈ 3,2727: MN ≈ 2,6364, S = (√3/4)(2,6364)² ≈ 3,009 dm², nên dh/dt ≈ 0,5/3,009 ≈ 0,1662 ≈ 0,17 dm/phút.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo đồng dạng MN = 1 + (2/4)h = 0,5h + 1, không phải h + 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
V(h) = ∫₀ʰ (√3/4)(0,5t+1)² dt = (√3/12)(0,25h³ + 1,5h² + 3h).
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải 0,25h³+1,5h²+3h = 20√3 ≈ 34,641 được h ≈ 3,2727 → 3,27 dm, không phải 3,26.
d) (AI giải đề cho tôi)
dh/dt = 0,5/S(h) ≈ 0,5/3,009 ≈ 0,1662 ≈ 0,17 dm/phút.
Chậu hình chóp cụt đều, đáy dưới cạnh 1 dm, đáy trên cạnh 3 dm, chiều cao 4 dm. Theo đồng dạng, cạnh tam giác đều của mặt nước tại chiều cao h là MN = 1 + (3-1)/4 · h = 0,5h + 1.
a) Sai: MN = 0,5h + 1 (h=0 cho MN=1, h=4 cho MN=3, hệ số góc a = 2/4 = 0,5), không phải h + 1.
b) Đúng: Diện tích mặt nước S(h) = (√3/4)MN² = (√3/4)(0,5h+1)². Thể tích V(h) = ∫₀ʰ S(t)dt = (√3/4)(h³/12 + h²/2 + h) = (√3/12)(0,25h³ + 1,5h² + 3h).
c) Sai: Sau 10 phút, V = 0,5·10 = 5 dm³, nên 0,25h³ + 1,5h² + 3h = 20√3 ≈ 34,641. Thử h = 3,27 cho ≈ 34,59; h = 3,28 cho ≈ 34,80; nghiệm h ≈ 3,2727 → làm tròn 3,27 dm, không phải 3,26.
d) Đúng: Tốc độ dâng dh/dt = 0,5/S(h). Tại h ≈ 3,2727: MN ≈ 2,6364, S = (√3/4)(2,6364)² ≈ 3,009 dm², nên dh/dt ≈ 0,5/3,009 ≈ 0,1662 ≈ 0,17 dm/phút.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo đồng dạng MN = 1 + (2/4)h = 0,5h + 1, không phải h + 1.
b) (AI giải đề cho tôi)
V(h) = ∫₀ʰ (√3/4)(0,5t+1)² dt = (√3/12)(0,25h³ + 1,5h² + 3h).
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải 0,25h³+1,5h²+3h = 20√3 ≈ 34,641 được h ≈ 3,2727 → 3,27 dm, không phải 3,26.
d) (AI giải đề cho tôi)
dh/dt = 0,5/S(h) ≈ 0,5/3,009 ≈ 0,1662 ≈ 0,17 dm/phút.
