Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: f'(x) là hàm bậc ba đạt cực đại tại (-2;0), đi qua (-1;-2), cực tiểu (0;-4) và cắt trục hoành tại x=1. Suy ra f'(x)=x³+3x²-4=(x+2)²(x-1).
a) Với x<-2, ví dụ f'(-3)=-27+27-4=-4<0 nên f nghịch biến trên (-∞;-2) → Sai.
b) g'(x)=f'(x)-x+1. Trên (-2;-1): f'(x)∈(-2;0) và -x+1∈(2;3) nên g'(x)>0, hàm g đồng biến → Đúng.
c) Trên [-3;1]: f'<0 trên (-3;-2), f'>0 trên (-2;1) nên f đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại x=-2. So sánh hai đầu: f(1)-f(-3)=∫_{-3}^{1}f'(x)dx = ∫_{-3}^{-2}f'dx + ∫_{-2}^{1}f'dx. Với F(x)=x⁴/4+x³-4x: F(1)=-11/4, F(-2)=4, F(-3)=21/4, nên tổng = -8 <0, tức f(1)<f(-3). Vậy max trên đoạn là f(-3), không phải f(-2) → Sai.
d) g(x)=(x²+x-2)/f'(x)=(x+2)(x-1)/[(x+2)²(x-1)]. Tại x=-2: tử bậc nhất, mẫu bậc hai nên lim g=∞ → tiệm cận đứng x=-2. Tại x=1: lim g = 3/9=1/3 (thế giá trị, không phải tiệm cận). lim_{x→±∞} g=0 → tiệm cận ngang y=0. Vậy đồ thị có đúng 2 đường tiệm cận → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=x³+3x²-4<0 với mọi x<-2 (ví dụ f'(-3)=-4), nên f nghịch biến trên (-∞;-2).
b) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=f'(x)-x+1; trên (-2;-1) có f'(x)∈(-2;0) và -x+1∈(2;3) nên g'(x)>0, g đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
f' đổi dấu từ âm sang dương tại x=-2 nên f(-2) là giá trị nhỏ nhất. Vì f(1)-f(-3)=∫_{-3}^{1}f'(x)dx=-8<0 nên max trên [-3;1] là f(-3).
d) (AI giải đề cho tôi)
g(x)=(x+2)(x-1)/[(x+2)²(x-1)] có tiệm cận đứng x=-2 (lim g=∞), x=1 chỉ là điểm loại bỏ (lim g=1/3), và tiệm cận ngang y=0; tổng cộng 2 đường tiệm cận.