Cho hình chóp $S.ABC$ có $\widehat{SAB}=\widehat{SBC}=90^{\circ }$, $AB=a$, $BC=a\sqrt{2}$, $\widehat{ABC}=135^{\circ }$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$, $(SBC)$ biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ là $\frac{a\sqrt{3}}{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $B=(0;0;0)$, $A=(a;0;0)$. Vì $\widehat{ABC}=135^{\circ }$, $BC=a\sqrt{2}$ nên $C=(-a;\epsilon a;0)$ với $\epsilon =\pm 1$.

Vì $\widehat{SAB}=90^{\circ }$ nên $(S-A)\cdot \overrightarrow{AB}=0\Rightarrow S_x=a$. Vì $\widehat{SBC}=90^{\circ }$ nên $\overrightarrow{BS}\cdot \overrightarrow{BC}=0$: $-a{S}_x+\epsilon a{S}_y=0\Rightarrow S_y=\epsilon a$. Đặt $S=(a;\epsilon a;ka)$ với $k=\frac{h}{a}>0$.

Véc tơ chỉ phương: ${\vec{u}}_{SA}=(0;\epsilon ;k)$, ${\vec{u}}_{BC}=(-1;\epsilon ;0)$.
$$\vec{n}={\vec{u}}_{SA}\times {\vec{u}}_{BC}=(-k\epsilon ;-k;\epsilon ),|\vec{n}|=\sqrt{2k^2+1}.$$
Khoảng cách giữa $SA$ và $BC$ (lấy $A=(a;0;0)$, $B=(0;0;0)$):
$$d(SA,BC)=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{ak}{\sqrt{2k^2+1}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$
$\Rightarrow \frac{k^2}{2k^2+1}=\frac{1}{3}\Rightarrow 3k^2=2k^2+1\Rightarrow k=1$, tức $S=(a;\epsilon a;a)$.

VTCP của $(SAB)$: $\overrightarrow{n_1}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=(1;0;0)\times (0;\epsilon ;1)=(0;-1;\epsilon )$.

VTCP của $(SBC)$: $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(-1;\epsilon ;0)\times (1;\epsilon ;1)=(\epsilon ;1;-2\epsilon )$.

$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0-1-2|}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \phi =30^{\circ }.$$
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ bằng $30^{\circ }$, chọn đáp án A.