Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Tam giác $A^{\prime }AB$ cân tại $A^{\prime }$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, mặt bên $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $60^0$. Thể tích của khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì tam giác $A^{\prime }AB$ cân tại $A^{\prime }$ và $(A^{\prime }AB)\perp (ABC)$ nên $A^{\prime }H\perp (ABC)$, chiều cao lăng trụ $h=A^{\prime }H$. Trong mặt phẳng $(ABC)$ kẻ $CK\perp A{A}^{\prime }$ ($K\in A{A}^{\prime }$), thì $CK\perp A{A}^{\prime }$ và $A^{\prime }H\perp (ABC)$ suy ra góc giữa $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ và $(ABC)$ là $\widehat{CKH}=60^{\circ }$ (tính qua tam giác vuông với đường cao). Cách tính trực tiếp: với $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C\left(\frac{a}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2},0\right)$, $A^{\prime }\left(\frac{a}{2},0,h\right)$, pháp tuyến của $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{AC}=\left(-\frac{ah\sqrt{3}}{2},\frac{ah}{2},\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)$. Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos 60^{\circ }=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{a\sqrt{h^2+\frac{3a^2}{16}}}=\frac{1}{2}$, suy ra $h^2+\frac{3a^2}{16}=\frac{3a^2}{4}\Rightarrow h=\frac{3a}{4}$. Diện tích đáy $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Thể tích $V=S\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3a}{4}=\frac{3\sqrt{3}{a}^3}{16}$. Vậy chọn D.