Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $\frac{3a}{2}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }C)$ và $(ABC)$?

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ tam giác đều nên lăng trụ đứng, đáy là tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $A{A}^{\prime }=\frac{3a}{2}$. Hai mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }C)$ và $(ABC)$ cắt nhau theo giao tuyến $BC$. Gọi $H$ là trung điểm $BC$, tam giác $ABC$ đều nên $AH\perp BC$ với $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vì lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, do đó $A^{\prime }H\perp BC$ (định lý ba đường vuông góc). Góc giữa hai mặt phẳng là góc $\widehat{A^{\prime }HA}$. Ta có $\tan \widehat{A^{\prime }HA}=\frac{A{A}^{\prime }}{AH}=\frac{\frac{3a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{3}$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng bằng $60^{\circ }$.