Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$; lại có $ABCD$ hình vuông nên $BC\perp AB$. Suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$. Trong mặt phẳng $(SBC)$, $SB\perp BC$; trong mặt đáy, $AB\perp BC$. Giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $BC$, nên góc giữa hai mặt phẳng là góc $\widehat{SBA}$. Đúng.

b) Hình chiếu của $S$ trên đáy là $A$, nên góc giữa $SC$ và đáy là $\widehat{SCA}$. Ta có $AC=a\sqrt{2}$, $SA=a\sqrt{2}$, nên $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=1\Rightarrow \widehat{SCA}=45^{\circ }$. Đúng.

c) Vì $BC\perp (SAB)$ nên $B$ là hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$, góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là $\widehat{SCB}$. Tam giác $SBC$: $BC=a$, $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{2a^2+2a^2}=a\sqrt{3}$, nên $\sin \widehat{SCB}=\frac{BC}{SC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 35,26^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.

d) $SA\perp (ABCD)$ tại $A$ và $BD\subset (ABCD)$, nên $d(SA,BD)=d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{a\cdot a}{a\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\ne a\sqrt{2}$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp BC$ (vì $SA\perp$ đáy) và $AB\perp BC$, suy ra $BC\perp (SAB)$ nên $SB\perp BC$. Giao tuyến là $BC$, góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SC$ và đáy là $\widehat{SCA}$ với $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1$, nên góc bằng $45^{\circ }$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $C$ trên $(SAB)$ là $B$ (vì $BC\perp (SAB)$), góc cần tìm là $\widehat{SCB}$ với $\sin \widehat{SCB}=\frac{BC}{SC}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, góc $\approx 35,26^{\circ }\ne 60^{\circ }$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(SA,BD)=d(A,BD)=\frac{AB\cdot AD}{BD}=\frac{a^2}{a\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\ne a\sqrt{2}$. Sai.