Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ cạnh bằng $3a,SA=SB=SD=2a$ và tam giác $ABD$ đều. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: vì tam giác $ABD$ đều cạnh $3a$ nên $BD=3a$ (hình thoi có góc $60^{\circ }$). Chọn $A=(0;0;0)$, $B=(3a;0;0)$, $D=(\frac{3a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2};0)$, khi đó $C=(\frac{9a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2};0)$, $AC=3a\sqrt{3}$. Vì $SA=SB=SD=2a$ nên $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ (trọng tâm) $H=(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};0)$, với $AH=a\sqrt{3}$ nên $SH=\sqrt{4a^2-3a^2}=a$, tức $S=(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a)$.

a) $\cos \angle SAH=\frac{AH}{SA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $AM=AH\cos \angle SAH=\frac{3a}{2}$. Tam giác $SAB$ cân: $\cos \angle SAB=\frac{S{A}^2+A{B}^2-S{B}^2}{2\cdot SA\cdot AB}=\frac{4a^2+9a^2-4a^2}{12a^2}=\frac{3}{4}$. Vì $(Q)\perp SA$: $AN=\frac{AM}{\cos \angle SAB}=2a$, tương tự $AP=2a$. Diện tích $△ANP=\frac{1}{2}(2a{)}^2\sin 60^{\circ }=a^2\sqrt{3}$. Chiều cao từ $M$: $AM\cdot \frac{SH}{SA}=\frac{3a}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3a}{4}$. Vậy $V_{AMNP}=\frac{1}{3}\cdot a^2\sqrt{3}\cdot \frac{3a}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$ → đúng.

b) $O$ là trung điểm $BD$, $H\in AC$ nên $SH\perp BD$, $OH\perp BD$; $OH=\frac{\sqrt{3}}{2}a$. $\tan \alpha =\frac{SH}{OH}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ → đúng.

c) Với $A=(0;0;0),B=(3a;0;0),C=(\frac{9a}{2};\frac{3a\sqrt{3}}{2};0),S=(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2};a)$: pháp tuyến ${\vec{n}}_1=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=(0;-3;\frac{3\sqrt{3}}{2})a^2$, ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(\frac{3\sqrt{3}}{2};-\frac{3}{2};3\sqrt{3})a^2$. ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=18a^4$, $|{\vec{n}}_1|=\frac{3\sqrt{7}}{2}{a}^2$, $|{\vec{n}}_2|=6a^2$, nên $\cos \beta =\frac{18}{9\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{7}}{7}\ne \frac{\sqrt{2}1}{7}$ → sai.

d) $V_{S.ACD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ACD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{9a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}$. Tam giác $SCD$ có $SD=2a$, $CD=3a$, $SC=\sqrt{13}a$; diện tích tính theo tọa độ ($\overrightarrow{CS}=(-3a;-a\sqrt{3};a)$, $\overrightarrow{CD}=(-3a;0;0)$, $|\overrightarrow{CS}\times \overrightarrow{CD}|=6a^2$) bằng $3a^2$. $d(A,(SCD))=\frac{3V}{S_{SCD}}=\frac{9a^3\sqrt{3}/4}{3a^2}=\frac{3a\sqrt{3}}{4}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AM=\frac{3a}{2}$, $AN=AP=2a$, $S_{ANP}=a^2\sqrt{3}$, chiều cao $\frac{3a}{4}$, $V_{AMNP}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SH=a$, $OH=\frac{\sqrt{3}}{2}a$, $\tan \alpha =\frac{SH}{OH}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính theo pháp tuyến của $(SAB)$ và $(SBC)$ được $\cos \beta =\frac{2\sqrt{7}}{7}\ne \frac{\sqrt{21}}{7}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V_{S.ACD}=\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}$, $S_{SCD}=3a^2$, nên $d(A,(SCD))=\frac{3V}{S_{SCD}}=\frac{3a\sqrt{3}}{4}$.