Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho đồ thị hàm số $(C):y=\frac{x^2+x+2}{x+1}$ mô tả chuyển động của hai tàu đánh cá $A$ và $B$ (1 đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng 1 km). Biết quỹ đạo chuyển động của hai tàu luôn thuộc về hai nhánh khác nhau của đồ thị $(C)$. Tính khoảng cách ngắn nhất (đơn vị km) giữa hai tàu đánh cá $A$ và $B$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $(C):y=x+1+\frac{1}{x+1}$, có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$, nên hai nhánh là nhánh phải ($x>-1$) và nhánh trái ($x<-1$).

Lấy điểm $M$ trên nhánh phải: đặt $u=x+1>0$ thì $M\left(u-1,u+\frac{1}{u}\right)$. Lấy điểm $N$ trên nhánh trái: đặt $x+1=-v$ với $v>0$ thì $N\left(-v-1,-v-\frac{1}{v}\right)$.

Hiệu tọa độ: $\Delta x=u+v$ và $\Delta y=u+v+\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$. Đặt $s=u+v$, $p=uv$; khi đó $\frac{1}{u}+\frac{1}{v}=\frac{s}{p}$, nên
$$d^2=s^2+{\left(s+\frac{s}{p}\right)}^2=s^2\left(2+\frac{2}{p}+\frac{1}{p^2}\right).$$
Với $p$ cố định, $s=u+v\ge 2\sqrt{p}$ (AM-GM), đạt tại $u=v$. Thay $s=2\sqrt{p}$:
$$d^2=8p+8+\frac{4}{p}.$$
Khảo sát $f(p)=8p+8+\frac{4}{p}$ với $p>0$: $f^{\prime }(p)=8-\frac{4}{p^2}=0\Rightarrow p=\frac{1}{\sqrt{2}}$, khi đó $d^2=\frac{8}{\sqrt{2}}+8+4\sqrt{2}=8+8\sqrt{2}$.

Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu là $d=\sqrt{8+8\sqrt{2}}\approx 4,39$ km (đạt khi $u=v=2^{-1/4}$, tức hai tàu ở vị trí đối xứng nhau qua đường thẳng $x=-1$).