Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$, (với $a,b,c,d,e\in \mathbb{R};a\ne 0$) có đồ thị như hình vẽ sau:

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $a>0$ (hai nhánh đi lên), đồ thị đi qua gốc $O$ nên $e=f(0)=0$, hàm tăng qua $O$ nên $f^{\prime }(0)=d>0$, đồ thị có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại nên $f^{\prime }(x)=0$ có 3 nghiệm phân biệt. $f^{\prime \prime }(x)=12a{x}^2+6bx+c$ có 2 nghiệm phân biệt là hoành độ 2 điểm uốn, nằm giữa các điểm cực trị: một nghiệm âm (giữa cực tiểu trái, hoành độ khoảng $x\approx -2$, và cực đại, hoành độ dương nhỏ khoảng $x\approx 1.5$) và một nghiệm dương (giữa cực đại và cực tiểu phải tại $x\approx 4$), nên chỉ có 1 nghiệm dương. Tích 2 nghiệm của $f^{\prime \prime }=0$ bằng $c/(12a)<0$ (nghiệm trái dấu) nên $c<0$; tổng 2 nghiệm $=-b/(2a)>0$ với $a>0$ nên $b<0$. Vậy các số dương chỉ có $a$ và $d$ ($e=0$), tức 2 số dương. a) Sai vì trên $(0;+\infty )$ hàm đạt GTNN tại điểm cực tiểu ($x\approx 4$, giá trị đạt được, thuộc khoảng) nên có GTNN; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a>0$ nên $f(x)\to +\infty$ khi $x\to \pm \infty$. Trên $(0;+\infty )$ đồ thị có điểm cực tiểu (hoành độ dương, gần $x=4$) với giá trị đạt được tại điểm thuộc khoảng, nên hàm số có giá trị nhỏ nhất trên $(0;+\infty )$. Khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị bậc bốn dạng W có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại phân biệt, nên $f^{\prime }(x)=0$ (phương trình bậc 3) có 3 nghiệm phân biệt là hoành độ 3 điểm cực trị. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime \prime }(x)=12a{x}^2+6bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt (vì $f^{\prime }$ có 3 nghiệm phân biệt nên $f^{\prime \prime }$ có 2 nghiệm) là hoành độ 2 điểm uốn, nằm giữa các điểm cực trị liên tiếp: một điểm uốn giữa cực tiểu thứ nhất và điểm cực đại, một điểm uốn giữa điểm cực đại và cực tiểu thứ hai ($x\approx 4$). Trên đồ thị, cực tiểu thứ nhất có hoành độ âm (đáng kể, khoảng $x\approx -2$) còn điểm cực đại có hoành độ dương nhỏ (khoảng $x\approx 1.5$), nên điểm uốn thứ nhất, nằm gần giữa chúng, có hoành độ âm; điểm uốn thứ hai dương. Vậy chỉ có 1 nghiệm dương, khẳng định sai. (Lưu ý: dấu của điểm uốn thứ nhất được suy từ đọc hình, vị trí của nó gần gốc $O$ nên khá sát 0.)
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị qua gốc $O$ nên $e=0$ (không dương). $a>0$. $f^{\prime }(0)=d>0$ vì hàm tăng tại $x=0$. Hai nghiệm của $f^{\prime \prime }(x)=0$ trái dấu nên tích $c/(12a)<0\Rightarrow c<0$. Tổng hai nghiệm $-b/(2a)>0$ với $a>0\Rightarrow b<0$. Vậy chỉ có $a$ và $d$ dương: 2 số dương, không phải 3. Khẳng định sai.