Cho tứ diện $ABCD$. Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a},\overrightarrow{AC}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{c}$. Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $BC$. Đẳng thức nào dưới đây đúng?

Vào dịp kỷ niệm Quốc khánh 02/9/2025, thành phố X tổ chức bắn pháo hoa. Có 2 ống bắn pháo hoa $A$ và $B$ được đặt trong 2 mặt phẳng song song với nhau và cách nhau 2 m, ống bắn $A$ đặt nghiêng so với mặt đất một góc $80^{\circ }$ và ống bắn $B$ nghiêng so với mặt đất một góc $70^{\circ }$. Hai pháo $A$ và $B$ được bắn đồng thời và cùng đi được quãng đường $100m$ thì nổ. Chọn hệ trục $Oxyz$ như hình vẽ.



Khi nổ hai quả pháo cách nhau bao nhiêu $m$. (Làm tròn đến hàng phần trăm)

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\vec{a}=(2;-3;3)$, $\vec{b}=(0;2;-1)$, $\vec{c}=(3;-1;5)$. Tìm tọa độ của vectơ $\vec{u}=2\vec{a}+3\vec{b}-2\vec{c}$.

Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, biết điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2),C(0;3;2),A^{\prime }(9;0;5)$. Gọi $M$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$.

Một kiến trúc sư muốn xây dựng 1 tòa nhà biểu tượng cho thành phố. Trên bản thiết kế tòa nhà có hình dạng là một khối lăng trụ tam giác đều, có cạnh bên bằng cạnh đáy và dài 300 mét (tham khảo hình vẽ). Kiến trúc sư muốn xây dựng một cây cầu $MN$ bắc xuyên tòa nhà (điểm đầu thuộc cạnh $A^{\prime }C$, điểm cuối thuộc cạnh $B{C}^{\prime }$) và cây cầu này sẽ được dát vàng với đơn giá 5 tỷ đồng trên 1 mét dài. Vì vậy để đáp ứng bài toán kinh tế, kiến trúc sư phải chọn vị trí cây cầu sao cho $MN$ ngắn nhất. Khi đó giá xây cây cầu này hết bao nhiêu tỷ đồng? (Làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho $A(2;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;2)$. Gọi $M$ là điểm trong không gian thỏa mãn: $\widehat{AMB}=\widehat{BMC}=\widehat{CMA}=90^{\circ }$ ($M$ không trùng với các điểm $A,B,C$ và góc $O$). Tính $x_M+y_M+z_M$

Trong không gian $Oxyz$, cho hai véc-tơ $\vec{a}=(2;3;2)$ và $\vec{b}=(1;1;-1)$. Khi đó véc-tơ $\vec{a}+\vec{b}$ có tọa độ là