Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, biết điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2),C(0;3;2),A^{\prime }(9;0;5)$. Gọi $M$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $D=A+C-B=(5+0-4;-2+3-5;0+2+2)=(1;-4;4)$.

a) Đúng: $D(1;-4;4)$.

b) $M$ trung điểm $A{A}^{\prime }$: $M(7;-1;2,5)$. $\overrightarrow{MB}=(-3;6;-4,5)$, $\overrightarrow{MD}=(-6;-3;1,5)$. Tích vô hướng $=18-18-6,75=-6,75<0$. $|\overrightarrow{MB}|=\sqrt{65,25}$, $|\overrightarrow{MD}|=\sqrt{47,25}$ nên $\cos (\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MD})=\frac{-6,75}{\sqrt{65,25\cdot 47,25}}=-\frac{3}{\sqrt{609}}=-\frac{3\sqrt{609}}{609}$. Đề cho giá trị dương nên sai.

c) Với $K(t;0;0)$: $\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=(9-3t;6;0)=3\overrightarrow{KG}$ với $G(3;2;0)$; $\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=(4-2t;8;0)=2\overrightarrow{KH}$ với $H(2;4;0)$. Suy ra $Q=6(|KG|+|KH|)$. Phản chiếu $G$ qua trục $Ox$ là $G^{\prime }(3;-2;0)$, khi đó $|KG|+|KH|\ge |G^{\prime }H|=\sqrt{1+36}=\sqrt{37}$, dấu bằng khi $K$ là giao điểm $G^{\prime }H$ với $Ox$. Vậy $\min Q=6\sqrt{37}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(4;2;5)$, $\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}=(1;-7;2)$, $\overrightarrow{BC}=(-4;-2;4)$, $\overrightarrow{AC}=(-5;5;2)$. Tổng $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=(14;-8;1)$, độ dài $\sqrt{196+64+1}=\sqrt{261}=3\sqrt{29}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên $D=A+C-B=(1;-4;4)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MD}=-6,75<0$ nên $\cos (\overrightarrow{MB};\overrightarrow{MD})=-\frac{3\sqrt{609}}{609}$; đề thiếu dấu âm nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $Q=6(|KG|+|KH|)$ với $G(3;2;0)$, $H(2;4;0)$; phản chiếu $G$ qua $Ox$ là $G^{\prime }(3;-2;0)$, $|G^{\prime }H|=\sqrt{37}$, nên $\min Q=6\sqrt{37}$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tổng vectơ bằng $(14;-8;1)$, độ dài $\sqrt{261}=3\sqrt{29}$. Đúng.