Cho hàm số $y=f(x)={\log }_2\left(\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)={\log }_2\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}$, điều kiện xác định: $\sqrt{2x^2+mx+1}>0$ và $x+2>0$ (vì mẫu phải cùng dấu với tử dương), tức $x>-2$ và $2x^2+mx+1>0$.

a) Sai. Với $m=-1$: $f(x)=1\iff \frac{\sqrt{2x^2-x+1}}{x+2}=2\iff \sqrt{2x^2-x+1}=2x+4$ với $x>-2$. Bình phương: $2x^2-x+1=4x^2+16x+16\iff 2x^2+17x+15=0\iff x=-1$ hoặc $x=-\frac{15}{2}$. Chỉ $x=-1>-2$ thỏa mãn (với $x=-\frac{15}{2}$ thì $2x+4<0$ loại). Vậy phương trình chỉ có một nghiệm, không có hai nghiệm phân biệt.

b) Đúng. $y=f(2-x^2)$ xác định khi $\frac{\sqrt{2(2-x^2{)}^2+m(2-x^2)+1}}{4-x^2}>0$. Đặt $g(t)=2t^2+mt+1$ với $t=2-x^2$: khi $0<m<2\sqrt{2}$ thì $\Delta =m^2-8<0$ nên $g(t)>0$ với mọi $t$. Do đó chỉ cần $4-x^2>0\iff x\in (-2;2)$, tức $D=(-2;2)$.

c) Đúng. Với $m=0$: $f(x)=\frac{1}{2}{\log }_2(2x^2+1)-{\log }_2(x+2)$, nên trên $(-2;+\infty )$: $y^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{4x}{(2x^2+1)\ln 2}-\frac{1}{(x+2)\ln 2}=\frac{2x}{(2x^2+1)\ln 2}-\frac{1}{(x+2)\ln 2}$.

d) Đúng. Phương trình $f(x)+\sqrt{2x^2+mx+1}=x+2$ với điều kiện $x>-2$, $2x^2+mx+1>0$. Đặt $A=\sqrt{2x^2+mx+1}$, xét $F(x)={\log }_2\frac{A}{x+2}+A-x-2$ trên các khoảng xác định.
- Khi $m\ge \frac{9}{2}$: tam thức $2x^2+mx+1$ có hai nghiệm $x_{1,2}=\frac{-m\pm \sqrt{m^2-8}}{4}$; khoảng xác định bên trái $(x_1;x_2)$ với $x_1\le -2$ (tại $m=\frac{9}{2}$, $x_1=-2$) nên bị loại do $x>-2$; chỉ còn khoảng $(x_2;+\infty )$, trên đó $F\to -\infty$ khi $x\to x_2^{+}$ và $F\to +\infty$ khi $x\to +\infty$, và $F^{\prime }>0$ (vì $\frac{(8-m)x+2m-2}{2A^2(x+2)\ln 2}>0$ và $A^{\prime }=\frac{2x+m}{2A}\ge 1$ trên khoảng này), cho đúng một nghiệm. Vậy $m\ge \frac{9}{2}$ không thỏa.
- Khi $m<\frac{9}{2}$: nếu $m^2\le 8$ thì tập xác định là $(-2;+\infty )$, có $F\to +\infty$ khi $x\to -2^{+}$, $F(0)=-2<0$, $F\to +\infty$ khi $x\to +\infty$ nên có hai nghiệm; nếu $m^2>8$ (khi đó $m<-2\sqrt{2}$ hoặc $2\sqrt{2}<m<\frac{9}{2}$) thì có hai khoảng xác định, trên mỗi khoảng $F$ đơn điệu (trên khoảng trái $A^{\prime }<0$ nên $F^{\prime }<0$; trên khoảng phải $A^{\prime }\ge 1$ và $\frac{(8-m)x+2m-2}{2A^2(x+2)\ln 2}>0$ nên $F^{\prime }>0$) và $F$ đổi dấu ở hai đầu nên mỗi khoảng cho đúng một nghiệm: tổng hai nghiệm phân biệt.
Vậy tập $m$ là $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$, mệnh đề đúng.
a) Với $m=-1$, $f(x)=1\iff \sqrt{2x^2-x+1}=2x+4$ ($x>-2$) $\iff 2x^2+17x+15=0\iff x=-1$ hoặc $x=-\frac{15}{2}$. Chỉ $x=-1$ thỏa mãn điều kiện $x>-2$, nên phương trình chỉ có một nghiệm phân biệt.
b) $f(2-x^2)$ xác định khi $\frac{\sqrt{2(2-x^2{)}^2+m(2-x^2)+1}}{4-x^2}>0$. Vì $0<m<2\sqrt{2}$ nên $\Delta =m^2-8<0$, do đó $2(2-x^2{)}^2+m(2-x^2)+1>0$ với mọi $x$. Chỉ cần $4-x^2>0\iff x\in (-2;2)$.
c) Với $m=0$: $f(x)=\frac{1}{2}{\log }_2(2x^2+1)-{\log }_2(x+2)$, suy ra $y^{\prime }=\frac{2x}{(2x^2+1)\ln 2}-\frac{1}{(x+2)\ln 2}$ trên $(-2;+\infty )$.
d) Với điều kiện $x>-2$, $2x^2+mx+1>0$. Xét $F(x)={\log }_2\frac{\sqrt{2x^2+mx+1}}{x+2}+\sqrt{2x^2+mx+1}-x-2$. Khi $m\ge \frac{9}{2}$, khoảng xác định bên trái bị mất (chứa $x\le -2$) nên chỉ còn đúng một nghiệm. Khi $m<\frac{9}{2}$, trên mỗi khoảng xác định $F$ đơn điệu và đổi dấu hai đầu (do $F\to +\infty$ tại một đầu và $F\to -\infty$ tại đầu kia, với $F(0)=-2<0$ khi miền là $(-2;+\infty )$), cho đúng hai nghiệm phân biệt. Vậy tập $m$ là $\left(-\infty ;\frac{9}{2}\right)$.