Có bao nhiêu cặp số nguyên $(a;b)$ để hàm số $f(x)=x^4+a{x}^3+bx+1$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x=1$?

Câu 2: (5,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hàm số sau:
$$y=x^3-6m{x}^2+32m^3,m\text{ laˋ tham soˆˊ thực.}$$
Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông cân.

Cho hàm số $f(x)=mx+2+\frac{m^2-m-3}{x-1}$ (với $m$ là tham số). Khi hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$ thì giá trị $f(5)$ bằng:

1) Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=2x^3-3x^2+m-1$ có hai điểm cực trị là $B$, $C$ sao cho tam giác $OBC$ có diện tích bằng 2, với $O$ là gốc tọa độ.

2) Nhà anh Hùng cách bờ biển $1km$. Mỗi buổi sáng anh Hùng chạy bộ từ nhà ra bờ biển, sau đó chạy dọc bờ biển $500m$, rồi anh chạy qua chợ hải sản để mua thức ăn trong ngày, cuối cùng anh chạy thẳng về nhà (tham khảo hình vẽ). Biết chợ hải sản cách bờ biển $400m$ và cách nhà anh Hùng $1km$, tính quãng đường ngắn nhất mà anh Hùng đã chạy trong mỗi buổi sáng.

Biết đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2+ax+b$ có điểm cực trị là $A(1;3)$. Khi đó giá trị của $4a-b$ là

Biết đồ thị hàm số $y=x^3+b{x}^2+cx+d$ đi qua điểm $(2;-20)$ và có điểm cực đại $(-1;7)$ . Giá trị biểu thức $P=b-2c+d$ bằng bao nhiêu?

Biết $M(1;5)$ là một điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$. Giá trị $f(2)$ bằng