Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G_1,G_2$ là trọng tâm của các tam giác $A^{\prime }BD,B^{\prime }{D}^{\prime }C$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ $\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AD},\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ với gốc tại $A$.

a) $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}=\vec{v}=\overrightarrow{BC}$, nên $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }=BC$, do đó $A^{\prime }{D}^{\prime }CB$ là hình bình hành → Đúng.

b) Trọng tâm tam giác $A^{\prime }BD$: $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}}{3}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{3}$. Trọng tâm tam giác $B^{\prime }{D}^{\prime }C$: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\vec{u}+\vec{w},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\vec{v}+\vec{w},\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$, nên $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{(\vec{u}+\vec{w})+(\vec{v}+\vec{w})+(\vec{u}+\vec{v})}{3}=\frac{2(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, tức $G_1{G}_2=\frac{1}{3}A{C}^{\prime }$ chứ không phải $\frac{2}{3}A{C}^{\prime }$ → Sai.

c) Vì $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ và $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nên cả $G_1,G_2$ cùng thuộc đường thẳng $A{C}^{\prime }$ → Đúng.

d) $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\vec{u}-\vec{w}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$ nên $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$; kết hợp $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ (từ ý a) thì hai mặt phẳng $(A^{\prime }BD)$ và $(B^{\prime }{D}^{\prime }C)$ song song → Đúng.

Kết quả Đ–S–Đ–Đ khớp đáp án nguồn (Câu 16, mã đề 2103: ĐSĐĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $A^{\prime }{D}^{\prime }=BC$, do đó $A^{\prime }{D}^{\prime }CB$ là hình bình hành.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{3}$, $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{2(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})}{3}$, nên $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, tức $G_1{G}_2=\frac{1}{3}A{C}^{\prime }$, không phải $\frac{2}{3}A{C}^{\prime }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{2}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ nên cả $G_1,G_2$ thuộc $A{C}^{\prime }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$ và $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ (vì $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\vec{u}-\vec{w}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$) nên $(A^{\prime }BD)\parallel (B^{\prime }{D}^{\prime }C)$.