Cho hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{4x^2+1}}{2x+1}$ và $g(x)=\frac{2x}{2x+3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II), mã đề 2103, đáp án SSDD.
a) Khi $x\to -\infty$: $\sqrt{4x^2+1}=|2x|\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}=-2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}$ (vì $x<0$). Do đó $f(x)=\frac{-2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}}{2x+1}=\frac{-2\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}}{2+\frac{1}{x}}\to \frac{-2}{2}=-1$. Vậy mệnh đề ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1$ là SAI.
b) Khi $x\to +\infty$: $f(x)=\frac{2\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}}{2+\frac{1}{x}}\to 1$ và $g(x)=\frac{2x}{2x+3}=\frac{2}{2+\frac{3}{x}}\to 1$, nên ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{1}=1\ne -1$. Mệnh đề SAI.
c) ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)={\lim }_{x\to -\infty }\frac{2}{2+\frac{3}{x}}=1$. Mệnh đề ĐÚNG.
d) ${\lim }_{x\to -\infty }\left(f(x)-g(x)\right)=-1-1=-2$. Mệnh đề ĐÚNG.
Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng — khớp đáp án SSDD của mã đề 2103.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $x<0$ nên $\sqrt{4x^2+1}=-2x\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}$, suy ra $f(x)\to \frac{-2}{2}=-1\ne 1$. Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=1$ và ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=1$ nên tỉ số bằng $1\ne -1$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\frac{2}{2+\frac{3}{x}}\to 1$ khi $x\to -\infty$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=-1$ và ${\lim }_{x\to -\infty }g(x)=1$ nên hiệu bằng $-2$. Đúng.