Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\to 2$, $x\ne 2$ nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x$ đủ lớn, chi phí tiến tới giới hạn $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2000x+1500}{35x+5}=\frac{2000}{35}=\frac{400}{7}\approx 57,142857$$ (triệu đồng). Làm tròn đến 1 chữ số thập phân: $57,1$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau $t$ phút: khối lượng chất khử khuẩn $m(t)=8t$ (gam) và thể tích nước $V(t)=250+25t$ (lít). Do đó $$C(t)=\frac{8t}{250+25t}=\frac{8t}{25(10+t)}.$$ Xét đạo hàm: $$C^{\prime }(t)=\frac{8(250+25t)-25\cdot 8t}{(250+25t{)}^2}=\frac{2000}{(250+25t{)}^2}>0,$$ nên $C(t)$ tăng theo $t$ trên $(0;+\infty )$. Giới hạn: $$\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{8t}{25(10+t)}=\frac{8}{25}=0,32.$$ Vì $C(t)$ tăng và bị chặn trên bởi $0,32$ (không bao giờ vượt quá giá trị này), số dương nhỏ nhất $h$ sao cho $C(t)$ tăng nhưng không vượt quá ngưỡng $h$ là $h=0,32$ gam/lít.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)-9}{x-3}=5$ hữu hạn nên tử số phải tiến tới 0, suy ra $f(3)=9$. Khi đó $K={\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)+x-5}{x-2}=\frac{f(3)+3-5}{3-2}=\frac{9+3-5}{1}=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $L={\lim }_{x\to -\infty }\frac{(x^2+x+3)-x^2}{\sqrt{x^2+x+3}-x}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{x+3}{\sqrt{x^2+x+3}-x}$. Khi $x\to -\infty$, mẫu số $\sqrt{x^2+x+3}-x\approx |x|-x=-2x\to +\infty$, nên $L={\lim }_{x\to -\infty }\frac{x+3}{-2x}=-\frac{1}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $x^3$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x-1}{2-x^3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{\frac{2}{x^3}-1}=\frac{0}{-1}=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét giới hạn trái: với $x\le 1$, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{1}{x-2}=\frac{1}{1-2}=-1$. Xét giới hạn phải: với $x>1$, $\frac{x^3-1}{x^2-1}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{x^2+x+1}{x+1}\to \frac{3}{2}$ khi $x\to 1^{+}$. Vì $-1\ne \frac{3}{2}$ nên $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)$ không tồn tại. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $S(t)$ là lượng muối trong hồ (gam) tại thời điểm $t$ (phút). Thể tích nước trong hồ là $V(t)=500+20t$ (lít). Tốc độ muối vào: $30\cdot 20=600$ gam/phút; tốc độ muối ra: $20\cdot \frac{S(t)}{500+20t}$ gam/phút. Nồng độ muối là $c(t)=\frac{S(t)}{500+20t}$. Khi $t\to +\infty$, nước trong hồ gần như hoàn toàn là nước biển bơm vào (thể tích ban đầu 500 lít không đáng kể so với $20t$), nên nồng độ muối trong hồ tiến về nồng độ của nước biển, tức ${\lim }_{t\to +\infty }c(t)=30$ gam/lít. Vậy đáp án là 30.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)$. Ta có $$\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{6x^3-2x^2+15x+1}{x(2x^2+5)}=\frac{6x^3-2x^2+15x+1}{2x^3+5x}.$$ Chia tử và mẫu cho $x^3$: $$\overline{C}(x)=\frac{6-\frac{2}{x}+\frac{15}{x^2}+\frac{1}{x^3}}{2+\frac{5}{x^2}}.$$ Khi $x\to +\infty$, các số hạng chứa $\frac{1}{x},\frac{1}{x^2},\frac{1}{x^3}$ đều tiến về 0, nên $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=\frac{6}{2}=3.$$ Vậy khi số lượng sản phẩm tăng lên đủ lớn, chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm là $3$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 0102, Phần III câu 5: 3).

Gọi chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là:

$$\overline{C}(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{6x^3-2x^2+15x+1}{2x^3+5x}$$

Lấy giới hạn khi $x\to +\infty$:

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{6x^3-2x^2+15x+1}{2x^3+5x}=\frac{6}{2}=3.$$

Vậy khi số lượng sản phẩm rất lớn, chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm tiến đến 3 triệu đồng/sản phẩm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ là số đồ chơi sản xuất ($x>0$). Tổng chi phí: $F(x)=70000+40x$ (nghìn đồng). Chi phí trung bình: $f(x)=\frac{F(x)}{x}=40+\frac{70000}{x}$. Khi $x$ càng lớn, $\frac{70000}{x}\to 0$ nên $f(x)\to 40$ và $f(x)>40$ với mọi $x$. Vậy chi phí trung bình không dưới 40 nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm: $F(x)=70000+50x$ (nghìn đồng). Chi phí trung bình: $f(x)=\frac{F(x)}{x}=50+\frac{70000}{x}$. Khi $x$ càng lớn, $\frac{70000}{x}\to 0$ nên $f(x)\to 50$. Vậy chi phí trung bình không dưới 50 nghìn đồng (không đạt được mà chỉ tiệm cận). Khớp đáp án nguồn: 50.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng vì với $k$ nguyên dương, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$. B đúng vì hằng số $c$ có giới hạn bằng chính nó: $\underset{x\to x_0}{\lim }c=c$. C đúng vì $\underset{x\to x_0}{\lim }x=x_0$. D SAI: khi $x\to -\infty$, nếu $k$ chẵn thì $x^k\to +\infty$ (ví dụ $k=2$: $x^2\to +\infty$), chỉ khi $k$ lẻ thì $x^k\to -\infty$. Vậy mệnh đề D không đúng với mọi $k$ nguyên dương. Đáp án cần tìm (mệnh đề SAI) là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1131, câu 14: D).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16 — Tính các giới hạn:

1) Hàm đa thức liên tục: $\underset{x\to 3}{\lim }(3x-1)=3\cdot 3-1=8$.

2) Thay trực tiếp (mẫu khác 0 tại $x=-1$): $\frac{2(-1)+7}{-1-1}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.

3) Thay trực tiếp: $1-6\cdot \frac{1}{2}=1-3=-2$.

4) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, $x^2-2x=x(x-2)$. Với $x\to 2$, $x\ne 2$: $\frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)}=\frac{x+1}{x}\to \frac{3}{2}$.

5) Nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{1-x}=\frac{3x+1-4x^2}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{(1-x)(4x+1)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{4x+1}{\sqrt{3x+1}+2x}\to \frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.

6) Với $x\to {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-}$ thì $2x-3<0$ nên $|2x-3|=3-2x$. Mà $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$, do đó $\frac{(2x-3)(x+1)}{3-2x}=-(x+1)\to -\frac{5}{2}$.

7) $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-7x-3)=+\infty$ (vì hệ số của $x^2$ dương).

8) Khi $x\to -\infty$: $\sqrt{x^2-x+7}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}$. Suy ra $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-5}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}}=\frac{3}{-1}=-3$.

9) $\sqrt{x^2+6x-2}+x=\frac{6x-2}{\sqrt{x^2+6x-2}-x}$. Khi $x\to -\infty$, mẫu $\approx -x+3-x=-2x+3\to +\infty$, tử $\approx 6x$. Tỉ số $\to \frac{6x}{-2x}=-3$.

10) Khi $x\to 2^{+}$: tử $\to 11>0$, mẫu $x-2\to 0^{+}$ nên giới hạn $=+\infty$.

11) Khi $x\to 5^{-}$: tử $1-8x\to -39<0$, mẫu $x-5\to 0^{-}$ nên giới hạn $=+\infty$.

12) $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\to 0^{+}$ khi $x\to -1$; tử $7x+2\to -5<0$ nên giới hạn $=-\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1-4x^2}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x+1)}{x+3}$ với $x\ne \frac{1}{2}$, $x\ne -3$.

1) $\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }f(x)=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\frac{-(2x+1)}{x+3}=\frac{-2}{\frac{7}{2}}=-\frac{4}{7}$.

2) Khi $x\to (-3{)}^{+}$: tử số $-(2x+1)\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{+}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$.

3) Khi $x\to (-3{)}^{-}$: tử số $\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{-}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$.

4) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x+3}=-2$ (cả hai giới hạn bằng $-2$).

5) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x\cdot f(x)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)x}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-2x^2-x}{x+3}=-\infty$.

6) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)}{x(x+3)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x^2+3x}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7 (trang 9): Cho f(x)=x-2 khi x<-1 và f(x)=√(x²+1) khi x≥-1.
a) Cả hai mảnh đều xác định trên toàn trục số (x²+1>0 với mọi x), nên D=ℝ — đúng.
b) Với x<-1, f(x)=x-2 nên lim_{x→-1⁻}f(x)=-1-2=-3 — đúng.
c) Với x≥-1, f(x)=√(x²+1) nên lim_{x→-1⁺}f(x)=√((-1)²+1)=√2 — đúng.
d) f(-1)=√2, nhưng lim_{x→-1⁻}f(x)=-3 ≠ √2=lim_{x→-1⁺}f(x). Vì giới hạn trái khác giới hạn phải, hàm số KHÔNG liên tục tại x=-1 — mệnh đề d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai mảnh của hàm số đều xác định trên toàn trục số (x²+1>0 với mọi x), nên D=ℝ.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x<-1, f(x)=x-2 nên lim_{x→-1⁻}f(x)=-1-2=-3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với x≥-1, f(x)=√(x²+1) nên lim_{x→-1⁺}f(x)=√((-1)²+1)=√2.
d) (AI giải đề cho tôi)
f(-1)=√2, lim_{x→-1⁻}f(x)=-3 ≠ √2=lim_{x→-1⁺}f(x). Vì giới hạn trái khác giới hạn phải, hàm số KHÔNG liên tục tại x=-1, mệnh đề SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $f(x)=\frac{(3x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3x-1}{x+1}$ với $x\ne 1$, $x\ne -1$.
a) ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=\lim \frac{3x-1}{x+1}=3$ → đúng.
b) ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{3(1)-1}{1+1}=1$ → đúng.
c) ${\lim }_{x\to -2}f(x)=\frac{-6-1}{-2+1}=\frac{-7}{-1}=7$ → đúng.
d) Hàm số không xác định tại $x=-1\in (-\infty ;1)$ nên không liên tục trên khoảng $(-\infty ;1)$ (chỉ liên tục trên $(-\infty ;-1)$, $(-1;1)$, $(1;+\infty )$) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì bậc tử và mẫu bằng nhau, hệ số cao nhất đều là 3 nên ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi rút gọn $f(x)=\frac{3x-1}{x+1}$ (với $x\ne 1$), thay $x=1$: $\frac{2}{2}=1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)=\frac{3(-2)-1}{-2+1}=\frac{-7}{-1}=7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số không xác định tại $x=-1$ thuộc khoảng $(-\infty ;1)$, nên không liên tục trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16 – Tính các giới hạn:

1. $\underset{x\to 3}{\lim }(3x-1)=3\cdot 3-1=8$.

2. Hàm liên tục tại $x=-1$: $\frac{2(-1)+7}{-1-1}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.

3. $\underset{x\to (1/2{)}^{+}}{\lim }(1-6x)=1-6\cdot \frac{1}{2}=-2$.

4. $\frac{x^2-x-2}{x^2-2x}=\frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)}=\frac{x+1}{x}\underset{x\to 2}{\to }\frac{3}{2}$.

5. Nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{1-x}=\frac{3x+1-4x^2}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{(1-x)(1+4x)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{1+4x}{\sqrt{3x+1}+2x}\underset{x\to 1}{\to }\frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.

6. Với $x\to {\frac{3}{2}}^{-}$ thì $2x-3<0$ nên $|2x-3|=3-2x=-(2x-3)$. Do đó $\frac{(2x-3)(x+1)}{-(2x-3)}=-(x+1)\to -\frac{5}{2}$.

7. $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-7x-3)=+\infty$ (bậc chẵn, hệ số dương).

8. Với $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2-x+7}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}$. Suy ra $\frac{3x-5}{\sqrt{x^2-x+7}}=\frac{3-\frac{5}{x}}{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}}\to \frac{3}{-1}=-3$.

9. $\sqrt{x^2+6x-2}+x=\frac{6x-2}{\sqrt{x^2+6x-2}-x}=\frac{6-\frac{2}{x}}{-\sqrt{1+\frac{6}{x}-\frac{2}{x^2}}-1}\to \frac{6}{-1-1}=-3$.

10. Khi $x\to 2^{+}$: tử $\to 11>0$, mẫu $x-2\to 0^{+}$ nên giới hạn bằng $+\infty$.

11. Khi $x\to 5^{-}$: tử $1-8x\to -39<0$, mẫu $x-5\to 0^{-}$ nên thương $\to +\infty$.

12. $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\to 0^{+}$ khi $x\to -1$; tử $7x+2\to -5<0$ nên giới hạn bằng $-\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1-4x^2}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x+1)}{x+3}$ với $x\ne \frac{1}{2}$, $x\ne -3$.

1. $\underset{x\to 1/2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1/2}{\lim }\frac{-(2x+1)}{x+3}=\frac{-(1+1)}{\frac{1}{2}+3}=\frac{-2}{7/2}=-\frac{4}{7}$.

2. Khi $x\to (-3{)}^{+}$: tử số $-(2x+1)\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{+}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$.

3. Khi $x\to (-3{)}^{-}$: tử số $\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{-}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$.

4. $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x+3}=-2$ (cả hai giới hạn bằng $-2$).

5. $\underset{x\to +\infty }{\lim }[x\cdot f(x)]=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\cdot \left(-2+\frac{5}{x+3}\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }(-2x+5)=-\infty$.

6. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)}{x(x+3)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x^2+3x}=0$ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu).