Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép toán vectơ không gian (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$). Vì $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$. Do đó tổng bằng $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$. Kiểm tra các phương án: A sai, B sai, D sai vì $2\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}$ hướng ngược chiều. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;0;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(x+3;y-1;-4)$. Thẳng hàng nên $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$: từ tung độ $y-1=0\Rightarrow y=1$; từ cao độ $-4=-3k\Rightarrow k=\frac{4}{3}$, suy ra $x+3=\frac{4}{3}\Rightarrow x=-\frac{5}{3}$. Vậy $x+y=-\frac{5}{3}+1=-\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định: A đúng vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. B đúng vì $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ (quy tắc trừ vectơ). D đúng vì $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=\overrightarrow{A{D}^{\prime }}$ (quy tắc ba điểm). C sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (đường chéo hình vuông ABCD), còn $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Khẳng định sai là C, khớp đáp án chính thức mã đề 101 (Câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=B-A=(3-2;2-(-3);5-1)=(1;5;4)$ → đúng. b) $OA=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}$, $OB=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}$, nên $OA<OB$ → đúng. c) Trung điểm $AB$ là $\left(\frac{2+3}{2};\frac{-3+2}{2};\frac{1+5}{2}\right)=\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)\ne \left(\frac{5}{2};\frac{1}{2};2\right)$ → sai. d) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2\cdot 3+(-3)\cdot 2+1\cdot 5=6-6+5=5>0$ nên $\cos \widehat{AOB}>0$, góc nhọn, không phải góc tù → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(3-2;2-(-3);5-1)=(1;5;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$OA=\sqrt{14}<OB=\sqrt{38}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm là $\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)$, khác $\left(\frac{5}{2};\frac{1}{2};2\right)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=5>0$ nên góc $\widehat{AOB}$ nhọn.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, đáy ABCD có A (sau trái), B (trước trái), C (trước phải), D (sau phải). a) $\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ cùng hướng từ trước ra sau, cùng độ dài $a$ nên bằng nhau → Đúng. b) $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}\ne \overrightarrow{CA}$ (vì $\overrightarrow{CA}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$) → Sai. c) $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, góc với $\overrightarrow{AB}$ là góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ trong hình vuông ABCD bằng $45^{\circ }$ → Đúng. d) $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{DC}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AB}=a^2+0=a^2\ne a^2\sqrt{2}$ → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức mã 201: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng hướng từ trước ra sau và cùng độ dài $a$, nên $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{D{B}^{\prime }}$, khác $\overrightarrow{CA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}$, góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ trong hình vuông bằng $45^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{DC}=a^2$, không bằng $a^2\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=2\overrightarrow{SM}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $SM$ và $\overrightarrow{SM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{SG}$. Do đó $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=2\overrightarrow{SM}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{SC}$. Mặt khác $\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{GC}$... kiểm tra trực tiếp: với $S$ làm gốc, $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}$ là tính chất quen thuộc của trọng tâm (vì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{SG}$). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật có $C(3;3;0)$, $C^{\prime }(3;3;3)$. a) $\overrightarrow{AC}=C-A=(3;3;0)$ → Đúng. b) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=C^{\prime }-A=(3;3;3)$ → Đúng. c) $\overrightarrow{BD}=D-B=(0;3;0)-(3;0;0)=(-3;3;0)\ne (3;-3;0)$ → Sai. d) Trọng tâm tam giác $ABD$: $G=\left(\frac{0+3+0}{3};\frac{0+0+3}{3};0\right)=(1;1;0)$, nên $a+2b+c=1+2+0=3\ne 5$ → Sai. Khớp đáp án mã đề 1201: ĐĐSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C(3;3;0)$ nên $\overrightarrow{AC}=(3;3;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C^{\prime }(3;3;3)$ nên $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(3;3;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BD}=(-3;3;0)$, khác $(3;-3;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=(1;1;0)$ nên $a+2b+c=3\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$. Với điểm $A$ bất kỳ, ta có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$ (tính chất trọng tâm), suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right)$. Vậy đáp án $D$. Kiểm tra các phương án khác: $A$ sai hệ số; $B$ sai vì vế trái bằng $\vec{0}$; $C$ sai vì $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}\ne \overrightarrow{GA}$ (trừ trường hợp $A$ trùng $G$).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$ (quy tắc hình bình hành trên đáy $ABCD$), nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\ne \overrightarrow{BD}$. Sai.
b) $\overrightarrow{B^{\prime }B}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$ (quy tắc ba điểm). Đúng.
c) Theo ý a), tổng bằng $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$ nên độ dài bằng đường chéo hình lập phương $B{D}^{\prime }=a\sqrt{3}\ne a\sqrt{2}$. Sai.
d) $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$, nên độ dài bằng $0\ne a$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng bằng $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}$, không phải $\overrightarrow{BD}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }B}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{B^{\prime }B}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{B^{\prime }D}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Độ dài bằng $|\overrightarrow{B{D}^{\prime }}|=a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức rút gọn thành $\vec{0}$, độ dài bằng 0.

(AI giải đề cho tôi)
A,B,C,D tạo thành hình bình hành (theo thứ tự đó) khi và chỉ khi hai đường chéo AC và BD có cùng trung điểm, tức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$. Điều kiện này vừa cần vừa đủ vì: nếu ABCD là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ suy ra $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}$, tức $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$; ngược lại từ đẳng thức này suy ra $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên ABCD là hình bình hành (do bốn điểm không thẳng hàng). Các phương án A, B chỉ bảo đảm hai điểm có trung điểm trùng, không đủ; phương án D tương đương với trọng tâm của bốn điểm trùng O, không liên quan đến hình bình hành. Vậy đáp án là C.

Vì $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình hộp nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, suy ra $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Do $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}\ne \overrightarrow{BC}$ nên đẳng thức $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ là sai.
Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 8 (Phần I) chọn đáp án B.

Tâm $O$ của hình lập phương là trung điểm của đường chéo $A{C}^{\prime }$, nên $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right)$.

Ta có: $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\right|=\left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=A{C}^{\prime }=AB\sqrt{3}=4\sqrt{3}$.