Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $AB=4$. Tính $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\right|$?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian $Oxyz$ (đơn vị: mét). Một đội gồm bốn drone giao hàng $A,B,C,D$ xếp đội hình bay có dạng tam giác $ABC$ và $D$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $DB=4DC$ (Hình vẽ bên). Tại thời điểm các drone có tọa độ là $A(80;20;80)$, $B(70;20;20)$, $C(420;120;120)$. Khoảng cách giữa drone $A$ và drone $D$ bằng bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trong không gian $Oxyz$, cho véc tơ $\overrightarrow{OA}=-\vec{i}+\vec{j}+2\vec{k}$. Khi đó điểm $A$ có toạ độ là

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho $3$ điểm $A(5;-2;0),B(4;5;-2)$ và $C(0;3;2)$. Điểm $M$ di chuyển trên trục $Ox$. Đặt $Q=2|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|+3|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|$. Biết giá trị nhỏ nhất của $Q$ có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ là số nguyên tố. Tính $a+b$.

Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của điểm $A(8;1;2)$ trên trục $Ox$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, vectơ $\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}-\vec{k}$, với $\vec{i};\vec{j};\vec{k}$ là các vectơ đơn vị. Khi đó tọa độ của $\vec{a}$ là