Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $AB=a$, $AD=b$, $A{A}^{\prime }=c$. Gọi $M$ là trung điểm của $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $G$ là trọng tâm tam giác $DC{D}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $D(0;b;0)$, $A^{\prime }(0;0;c)$, suy ra $C(a;b;0)$, $D^{\prime }(0;b;c)$, $B^{\prime }(a;0;c)$, $C^{\prime }(a;b;c)$.

a) Các vecto bằng $\overrightarrow{AB}$ (cùng hướng, độ dài $a$) có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh hình hộp: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ — có 4 vecto, không phải 3. → Sai.

b) $M$ trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $M(a;\frac{b}{2};c)$, do đó $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Đề nói $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (hệ số $\frac{1}{2}$ đặt sai chỗ). → Sai.

c) Trọng tâm tam giác $DC{D}^{\prime }$: $G=\frac{D+C+D^{\prime }}{3}=\left(\frac{a}{3};b;\frac{c}{3}\right)$, nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ (không phải $\frac{2}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$). Hơn nữa $A{G}^2=\frac{a^2}{9}+b^2+\frac{c^2}{9}$, không phải $\frac{a^2}{9}+\frac{4c^2}{9}+b^2$. → Sai.

d) $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AG}=\left(a;\frac{b}{2};c\right)\cdot \left(\frac{a}{3};b;\frac{c}{3}\right)=\frac{a^2}{3}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{3}$, khác $\frac{a^2}{6}+b^2+\frac{2c^2}{3}$. → Sai.

Tất cả bốn ý đều sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 4 vecto bằng $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D^{\prime }{C}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, không phải 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, không phải $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ và $AG=\sqrt{\frac{a^2}{9}+b^2+\frac{c^2}{9}}$, khác khẳng định đề bài.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AG}=\frac{a^2}{3}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{3}$, khác $\frac{a^2}{6}+b^2+\frac{2c^2}{3}$.