Trong không gian $Oxyz$, cho hai vecto $\vec{u}=(1;1;-2)$, $\vec{v}=(1;0;m)$. Giá trị của tham số $m$ (làm tròn đến hàng phần trăm) để góc giữa $\vec{u}$, $\vec{v}$ bằng $45^{\circ }$ là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;-1;0)$, $B(-2;5;3)$, $C(3;4;9)$.

Một chiếc máy bay không người lái bay lên tại một điểm. Sau một thời gian chiếc máy bay cách điểm xuất phát về phía Bắc 30 (km) và phía Tây 40 (km), đồng thời cách mặt đất 1,5 (km). Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$, với gốc đặt tại điểm xuất phát của chiếc máy bay, mặt phẳng $Oxy$ trùng với mặt đất, trục $Ox$ hướng về phía Bắc, trục $Oy$ hướng về phía Tây, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. Tính khoảng cách từ điểm xuất phát đến vị trí của máy bay (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt $S(0;0;20)$ và các điểm chạm mặt đất của bốn chân là $A(20;0;0)$, $B(0;20;0)$, $C(-20;0;0)$, $D(0;-20;0)$ (đơn vị cm). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn bằng 120 N và được phân bố thành bốn lực $\overrightarrow{F_1}$, $\overrightarrow{F_2}$, $\overrightarrow{F_3}$, $\overrightarrow{F_4}$ có độ lớn bằng nhau được mô hình hóa như hình bên dưới.
Tính tích vô hướng của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{u}=\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k}$ và $\vec{v}=(2;-1;-4)$. Tính $\vec{u}.\vec{v}$.

Trong không gian, xét hệ tọa độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục $Ox$ hướng về phía tây, trục $Oy$ hướng về phía nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (như hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Khi một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là $(25;15;0)$ đối với hệ tọa độ nói trên thì khoảng cách giữa tàu và ra đa là bao nhiêu kilômét? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.