Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,DC$. $AN$ và $CM$ lần lượt cắt $BD$ tại $E,F$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FB}$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ với gốc $D$: đặt $\vec{u}=\overrightarrow{DA}$, $\vec{v}=\overrightarrow{DC}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec{v}$, do đó $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\vec{u}+\vec{v}$.

Vì $N$ là trung điểm $DC$ nên $\overrightarrow{DN}=\frac{1}{2}\vec{v}$; vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AM}=\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.

Tìm điểm $E$: $E$ nằm trên $BD$ nên $\overrightarrow{DE}=t(\vec{u}+\vec{v})$ với $0<t<1$. Đồng thời $E$ nằm trên $AN$ nên $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+s\overrightarrow{AN}=(1-s)\vec{u}+\frac{s}{2}\vec{v}$. So sánh hệ số (vì $\vec{u},\vec{v}$ không cùng phương): $t=1-s$ và $t=\frac{s}{2}$. Suy ra $s=2t$ và $t=1-2t$, tức $t=\frac{1}{3}$. Vậy $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.

Tìm điểm $F$: $F$ nằm trên $BD$ nên $\overrightarrow{DF}=t^{\prime }(\vec{u}+\vec{v})$. Đồng thời $F$ nằm trên $CM$: $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DC}+r\overrightarrow{CM}=r\vec{u}+\left(1-\frac{r}{2}\right)\vec{v}$. So sánh hệ số: $t^{\prime }=r$ và $t^{\prime }=1-\frac{r}{2}$, suy ra $r=\frac{2}{3}$, vậy $t^{\prime }=\frac{2}{3}$. Do đó $\overrightarrow{DF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}$.

Khi đó: $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}-\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$.

Vậy $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{FB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$, điều phải chứng minh. (Nhận xét: vì $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CN}$ nên $AMCN$ cũng là hình bình hành, tức $AN\parallel CM$, phù hợp với kết quả $E,F$ chia $BD$ thành ba phần bằng nhau.)