Cho tam giác $ABC$. Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AC}$.
a) Hãy dựng các điểm $M$, $N$ thỏa mãn: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{BC}$.
b) Hãy phân tích $\overrightarrow{CM}$, $\overrightarrow{AN}$, $\overrightarrow{MN}$ qua các véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 19. Đặt $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{b}=\overrightarrow{AC}$.

a) Dựng điểm:
- $M$ trên đoạn $AB$ sao cho $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, tức $M$ nằm giữa $A$ và $B$ với $AM=\frac{1}{3}AB$.
- $N$ sao cho $\overrightarrow{CN}=2\overrightarrow{BC}$: vì $\overrightarrow{BC}=\vec{b}-\vec{a}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ và cùng hướng, nên $N$ nằm trên tia $BC$ với $CN=2BC$, tức $B$ là trung điểm $CN$.

b) Phân tích:
- $\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}=-\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{a}=\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}$.
- $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=\vec{b}+2\overrightarrow{BC}=\vec{b}+2(\vec{b}-\vec{a})=-2\vec{a}+3\vec{b}$.
- $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=(-2\vec{a}+3\vec{b})-\frac{1}{3}\vec{a}=-\frac{7}{3}\vec{a}+3\vec{b}$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=-\left(\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}\right)+2(\vec{b}-\vec{a})=-\frac{7}{3}\vec{a}+3\vec{b}$, khớp kết quả trên.