Cho tam giác $ABC$. Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC,AI$. Tìm điểm $M$ thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện đề bài:
$$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$$
$$\iff \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AK}.$$
Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BI}$, do đó:
$$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AK}.$$
Vì $K$ là trung điểm của $AI$ nên $\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}$. Mặt khác $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{BA}$, suy ra:
$$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{BI}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BI}-\overrightarrow{BA}\right)=\frac{5}{2}\overrightarrow{BI}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.$$
Vì $\overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, ta được:
$$\overrightarrow{BM}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}.$$
Vậy điểm $M$ cần tìm là điểm xác định duy nhất bởi:
$$\overrightarrow{BM}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA},$$
tức là $M$ nằm trên đường thẳng qua đầu $C^{\prime }$ của vecto $\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}$ (điểm trên tia $BC$ với $B{C}^{\prime }=\frac{5}{4}BC$) và được tịnh tiến thêm vecto $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Kiểm tra: với $\overrightarrow{BM}=\frac{5}{4}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$ ta có $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{BI}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BM}$, nên tổng các vecto trong đề bài bằng $\vec{0}$. Điểm $M$ tồn tại duy nhất vì $\overrightarrow{BM}$ được xác định duy nhất.