Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $OA$ và $CD$. Biết $\overrightarrow{MN}=a\cdot \overrightarrow{AB}+b\cdot \overrightarrow{AD}$. Tính $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc tại $A$, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$.

Vì $O$ là tâm hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v}$.

$M$ là trung điểm của $OA$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AO}=\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{1}{4}\vec{v}$.

$N$ là trung điểm của $CD$: ta có $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, nên $\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{1}{2}\vec{u}+\vec{v}$.

Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\left(\frac{1}{2}\vec{u}+\vec{v}\right)-\left(\frac{1}{4}\vec{u}+\frac{1}{4}\vec{v}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$.

Vậy $a=\frac{1}{4}$, $b=\frac{3}{4}$, suy ra $a+b=1$.