Cho tam giác $ABC$ có $A(1;2)$, $B(-3;-1)$ và $C(3;-4)$. Tìm điều kiện của tham số $m$ để điểm $$M\left(m;\frac{m-5}{3}\right)$$ nằm bên trong tam giác $ABC$?

(AI giải đề cho tôi)
Viết phương trình các đường cạnh của tam giác:
- Đường thẳng AB đi qua A(1;2), B(-3;-1): $\frac{y-2}{x-1}=\frac{-1-2}{-3-1}=\frac{3}{4}$, suy ra $AB:3x-4y+5=0$.
- Đường thẳng BC đi qua B(-3;-1), C(3;-4): hệ số góc $-\frac{1}{2}$, suy ra $BC:x+2y+5=0$.
- Đường thẳng CA đi qua C(3;-4), A(1;2): hệ số góc $-3$, suy ra $CA:3x+y-5=0$.

Lấy trọng tâm $G\left(\frac{1}{3};-1\right)$ thuộc miền trong tam giác để xác định dấu:
- $3x_G-4y_G+5=1+4+5=10>0$;
- $x_G+2y_G+5=\frac{1}{3}-2+5=\frac{10}{3}>0$;
- $3x_G+y_G-5=1-1-5=-5<0$.

Với $M\left(m;\frac{m-5}{3}\right)$ nằm bên trong tam giác $ABC$ (không kể biên) ta cần:
1) $3m-4\cdot \frac{m-5}{3}+5>0\iff \frac{9m-4m+20+15}{3}>0\iff 5m+35>0\iff m>-7$.
2) $m+2\cdot \frac{m-5}{3}+5>0\iff \frac{3m+2m-10+15}{3}>0\iff 5m+5>0\iff m>-1$.
3) $3m+\frac{m-5}{3}-5<0\iff \frac{9m+m-5-15}{3}<0\iff 10m-20<0\iff m<2$.

Kết hợp ba điều kiện: $-1<m<2$.

Kiểm tra: với $m=0$, $M(0;-\frac{5}{3})$: $\frac{35}{3}>0$, $\frac{5}{3}>0$, $-\frac{20}{3}<0$ — thỏa cả ba, nằm trong tam giác. Vậy $M$ nằm bên trong tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $m\in (-1;2)$.