Cho $\Delta ABC$ có trực tâm $H$ và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi $B^{\prime }$ là điểm đối xứng của $B$ qua $O$. Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $B^{\prime }$ đối xứng của $B$ qua $O$ nên $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{OB}$, suy ra $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$. Với trực tâm $H$ và tâm ngoại tiếp $O$ có tính chất $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$, do đó $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$. a) $B^{\prime }C\parallel AH$ và $AH\perp BC$ (tính chất trực tâm) nên $B^{\prime }C\perp BC$ — Đúng. b) $B^{\prime }C$ chỉ song song với $AH$, không song song với $AB$; kiểm chứng bằng ví dụ $O=(0;0)$, $A=(1;0)$, $B=(-0,5;0,866)$, $C\approx (-0,342;-0,940)$: $\overrightarrow{B^{\prime }C}\approx (-0,842;-0,074)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(-1,5;0,866)$ — Sai. c) Tứ giác $A{B}^{\prime }CH$ có $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$ (một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) nên là hình bình hành — Đúng. d) Theo hình bình hành $A{B}^{\prime }CH$ thì $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{HC}$ (kiểm chứng bằng tọa độ: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(-0,5;-0,866)=\overrightarrow{HC}$) — Đúng. Kết luận: a Đúng, b Sai, c Đúng, d Đúng.
a) Vì $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp và $B^{\prime }$ đối xứng của $B$ qua $O$ nên $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=-\overrightarrow{OB}$. Khi đó $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}$. Mặt khác, với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp ta có $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$, suy ra $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{AH}$. Do $AH\perp BC$ (tính chất trực tâm) nên $B^{\prime }C\perp BC$. Đúng.
b) Từ câu a ta có $\overrightarrow{B^{\prime }C}=\overrightarrow{AH}$, tức $B^{\prime }C\parallel AH$, và $B^{\prime }C\perp BC$. Nếu $B^{\prime }C\parallel AB$ thì $\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{B^{\prime }C}-\overrightarrow{AB}$ cũng phải cùng phương với $AB$, tức $BH\parallel AB$; nhưng $BH\perp AC$ mà $AB$ không vuông góc $AC$ (tam giác không vuông tại $A$), mâu thuẫn. Kiểm tra bằng ví dụ cụ thể: lấy $O=(0;0)$, $A=(1;0)$, $B=(-0,5;0,866)$, $C\approx (-0,342;-0,940)$ trên đường tròn đơn vị. Khi đó $\overrightarrow{B^{\prime }C}\approx (-0,842;-0,074)$ và $\overrightarrow{AB}=(-1,5;0,866)$ không cùng phương. Vậy $B^{\prime }C$ không song song $AB$ (điều đúng là $B^{\prime }C\parallel AH$). Sai.
c) Từ câu a, $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$, tức tứ giác $A{B}^{\prime }CH$ có một cặp cạnh đối ($AH$ và $B^{\prime }C$) song song và bằng nhau. Do đó $A{B}^{\prime }CH$ là hình bình hành. Đúng.
d) $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$ đã được chứng minh ở câu a. Vì $A{B}^{\prime }CH$ là hình bình hành (câu c) nên $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\overrightarrow{HC}$. Kiểm tra bằng tọa độ với ví dụ ở câu b: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=B^{\prime }-A=(-0,5;-0,866)$ và $\overrightarrow{HC}=C-H$ với $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\approx (0,158;-0,074)$, ta được $\overrightarrow{HC}\approx (-0,5;-0,866)=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}$. Đúng.