Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A$ và góc $\hat{B}=30^{\circ }$. Tính giá trị của $\sin \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)+\cos \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên góc giữa hai vecto $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là $90^{\circ }$, do đó $\sin \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\sin 90^{\circ }=1$. Góc giữa hai vecto $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BA}$ bằng góc tại đỉnh $B$ của tam giác, tức $\hat{B}=30^{\circ }$, nên $\cos \left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy tổng bằng $1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$, tương ứng phương án D.