Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích khối tròn xoay bằng tích phân (Toán học Lớp 12)

Một thùng làm kem có dạng hình tròn xoay, có mặt cắt qua trục là dạng parabol như hình vẽ. Biết phương trình đường biên parabol có dạng $f(x)=a{x}^2$. Hỏi dung tích của thùng bằng bao nhiêu lít? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Người ta thiết kế của một thùng rượu có bán kính các đáy là $0,3\text{m}$, chiều cao là $1\text{m}$ bằng cách quay quanh trục hoành một miền phẳng $(H)$ là phần gạch sọc như hình bên dưới, trong đó $SO=0,4\text{m}$. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol. Thể tích của thùng rượu (đơn vị: ${\text{dm}}^3$) là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một người thiết kế một cái loa phóng thanh bằng nhựa có hình dạng khối tròn xoay như *Hình 1* bên dưới, có mặt cắt bởi mặt phẳng qua trục của loa như *Hình 2* và có bảng vẽ kỹ thuật trên hệ trục $Oxy$ như *Hình 3* (đơn vị trên các trục bằng $1\text{ cm}$). Tính thể tích nhựa để đúc chiếc loa (*tính theo ${\text{cm}}^3$ và làm tròn kết quả tính toán sau cùng đến hàng đơn vị*).

Câu 3: Tháp giải nhiệt tại một nhà máy điện hạt nhân có hình dạng là một phần của khối tròn xoay khi cho hypebol $(H)$ quay quanh một trục đối xứng của $(H)$. Tháp có chiều cao là $120$ mét, bán kính đáy dưới bằng $40$ mét. Thiết lập hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ sao cho mặt cắt dạng hypebol của tháp nhận $Oy$ làm trục đối xứng; lấy đơn vị trên mỗi trục là mét. Gốc $O$ ở vị trí có độ cao $80$ mét so với mặt đất và đoạn giao nhau giữa trục $Ox$ với tháp bằng $30$ mét.

Một chiếc đồng hồ cát nghệ thuật bằng thủy tinh có bầu chứa phía trên và bầu chứa phía dưới bằng nhau, bên trong chứa một chất lỏng đặc biệt. Khi bầu phía trên chứa đầy chất lỏng, thể tích chất lỏng bên trong đúng bằng thể tích của một khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2\sqrt{x}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=9$ (các đơn vị trên hệ trục tọa độ được tính bằng centimét, trục $Ox$ trùng với trục đối xứng dọc của đồng hồ). Phần cổ hẹp làm khuyết để thông nhau giữa bầu chứa phía trên và bầu chứa phía dưới coi như không đáng kể.

Ban đầu, phần bầu chứa phía trên chứa đầy chất lỏng. Khi bắt đầu tính giờ, chất lỏng chảy qua cổ hẹp xuống bầu chứa phía dưới với tốc độ (lưu lượng thể tích) không đổi trong suốt quá trình chảy. Người ta nhận thấy toàn bộ lượng chất lỏng chảy hết xuống bầu chứa phía dưới trong đúng $27$ phút. Giả sử trong suốt quá trình chảy, bề mặt trên của chất lỏng luôn tạo thành một mặt phẳng nằm ngang.
Gọi $h\text{ (cm)}$ là chiều cao của khối chất lỏng còn lại trong bầu chứa phía trên tại thời điểm $t$ (phút) ($0\le h\le 9$, tính từ cổ hẹp hướng lên trên dọc theo trục $Ox$). Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ lúc bắt đầu chảy, chiều cao khối chất lỏng trong bầu chứa phía trên (tính từ cổ hẹp hướng lên trên dọc theo trục $Ox$) còn đúng $3\text{ cm}$ (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Cho hai nửa đường tròn như hình vẽ, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi đường kính của đường tròn nhỏ. Biết rằng nửa hình tròn đường kính $AB$ có diện tích là $8\pi$ và $\widehat{BAC}=30^{\circ }$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng $AB$.

Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường
3
=-
+
y
x
x và
0
=
y
quanh trục Ox bằng

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(H)$ (phần màu xám trong hình vẽ bên) quanh trục $AC$. Biết rằng $AC=2\text{ cm}$, $B$ là trung điểm $AC$, miền $(H)$ được giới hạn bởi đoạn thẳng $BC$ và các cung tròn bán kính $1\text{ cm}$ có tâm $A$ và $B$. Thể tích của vật trang trí đó gần nhất với kết quả nào sau đây?

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục $MN$. Biết rằng $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=6$cm, $AD=10$cm, $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$, hai đường cong là đường elip có hình chữ nhật cơ sở là $ABCD$ và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh $AD$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong đợt tổ chức HKPĐ tỉnh Nghệ An lần thứ XX, ban tổ chức thiết kế một cổng chào bằng phao chứa không khí ở bên trong, có hình dạng như một nửa cái Săm ô tô khi bơm căng (tham khảo hình vẽ). Cổng chào có chiều cao so với mặt sân là $9\text{ m}$ (tính cả phần phao chứa không khí), phần chân của cổng chào tiếp xúc với mặt sân theo một đường tròn có đường kính là $2\text{ m}$ và bề rộng của cổng chào là $18\text{ m}$ (tính cả phần phao chứa không khí). Bỏ qua độ dày của lớp vỏ cổng chào, mặt sân coi là bằng phẳng. Tính thể tích không khí chứa bên trong cổng chào.

Cho hai đường tròn $(O_1;5)$ và $(O_2;3)$ cắt nhau tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB$ là một đường kính của đường tròn $(O_2;3)$. Gọi $(D)$ là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường tròn (ở ngoài đường tròn lớn, phần tô dấu chấm như hình vẽ). Quay $(D)$ quanh trục $O_1{O}_2$ ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo thành.
[IMAGE_1]

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y={\log }_{2}x,y=0$ và $x=4$ xung quanh đường thẳng $x=4$ thu được khối tròn xoay có thể tích gần nhất với giá trị nào sau đây?

Cho hình thang $ABCD$ với $AB=AD=1$, $DC=3$, $\widehat{BAD}=\widehat{ADC}=90^{\circ }$. Cung tròn đi qua $B$ và $D$ là một phần của đường tròn có tâm là $A$; gọi $(H)$ (phần tô đậm trên hình vẽ bên) là hình phẳng giới hạn bởi cung tròn và các đoạn thẳng $BC,DC$. Quay hình $(H)$ quanh đường thẳng $DC$ tạo thành một khối tròn xoay, tính thể tích $V$ của khối tròn xoay này.

Từ hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=8\text{ cm}$ và chiều rộng $BC=4\text{ cm}$; Người ta cắt bỏ miền $(R)$ được giới hạn bởi cạnh $CD$ của hình chữ nhật và hai nửa đường parabol có chung đỉnh là trung điểm của cạnh $AB$ như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần còn lại quanh trục $AB$ bằng:

Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần tô đậm trong hình vẽ bên) quanh trục $AB$. Miền $(R)$ được giới hạn bởi các cạnh $AB,AD,BC$, một nửa đường chéo $AC$ của hình vuông $ABCD$ và cung phần tư của đường tròn bán kính bằng $2\text{ cm}$ với tâm là trung điểm của cạnh $AD$. Tính thể tích của vật trang trí đó, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 4. Gọi hai điểm $M$ và $I$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $MC$. Một parabol có đỉnh là $D$ và đi qua điểm $B$, đường tròn tâm $I$ đường kính $MC$ như hình vẽ. Thể tích $V$ của vật thể được tạo thành khi quay miền $(R)$ (phần được gạch chéo) quanh trục $AD$ gần giá trị nào nhất sau đây?

Người ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ. Nửa đường tròn đường kính $AB$ có diện tích là $32\pi$ và $\widehat{BAC}=30^{\circ }$. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng $AB$.

Hình phẳng được tô đậm trong hình bên được giới hạn bởi đường tròn, đường parabol, trục hoành. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng đã cho quanh trục $Ox$ thuộc khoảng nào sau đây?

Săm lốp xe ô tô khi bơm căng đặt nằm trên mặt phẳng nằm ngang có hình chiếu bằng như hình vẽ với bán kính đường tròn nhỏ $R_1=21\text{ cm}$, bán kính đường tròn lớn $R_2=31\text{ cm}$ và mặt cắt khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trục, vuông góc mặt phẳng nằm ngang là hai đường tròn. Tính thể tích không khí được chứa bên trong săm (bỏ qua độ dày vỏ săm)?

Một chiếc cối giã gạo bằng đá của đồng bào dân tộc ở tỉnh Hà Giang có dạng khối tròn xoay, phía bên ngoài là hình trụ, cao $50\text{ cm}$. Mặt cắt của chiếc cối bởi mặt phẳng đi qua tâm của đáy và vuông góc với đáy như hình bên. Biết rằng đường cong bên trong mặt cắt là một đường parabol đỉnh tại $I$. Biết $AB=70\text{ cm},CD=60\text{ cm}$ và $IJ=40\text{ cm}$, thể tích phần đá của chiếc cối gần nhất với giá trị nào sau đây?