Từ hình chữ nhật $ABCD$ có chiều dài $AB=8\text{ cm}$ và chiều rộng $BC=4\text{ cm}$; Người ta cắt bỏ miền $(R)$ được giới hạn bởi cạnh $CD$ của hình chữ nhật và hai nửa đường parabol có chung đỉnh là trung điểm của cạnh $AB$ như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay phần còn lại quanh trục $AB$ bằng:

Một chiếc lều vải du lịch dạng hình cong như hình vẽ. Khung chính bao gồm đáy là hình vuông cạnh $2\text{ m}$ và hai xương dây $a,b$ nằm trên các đường parabol đỉnh $S$. Biết chiều cao của lều là $SO=1,35\text{ m},O$ là tâm của đáy. Tính thể tích chiếc lều theo đơn vị ${\text{m}}^3$.
[IMAGE_1]

Trên mặt phẳng vẽ hai nửa đường tròn đường kính $AB$, $AD$, với $AB=2AD=4\text{cm}$ như hình vẽ. Cho biết $\widehat{BAC}=30^{\circ }$. Hình phẳng $(H)$ là phần tô đậm nằm giữa hai nửa đường tròn, đường thẳng $AB,AC$. Một kỹ sư cần chế tạo chi tiết máy bằng thép có dạng tròn xoay khi xoay hình phẳng $(H)$ quanh trục $AB$. Biết chi phí sản xuất là $15$ nghìn đồng/${\text{cm}}^3$. Giá tiền sản xuất một chi tiết máy là bao nhiêu nghìn đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=-x^2+2x$ và trục hoành. Quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$ ta được khối tròn xoay có thể tích là:

Một chiếc đồng hồ cát gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ như hình vẽ (mặt nằm ngang là mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ và song song với hai mặt đáy của hình trụ). Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ cát thì chiều cao $h$ của mực cát bằng $\frac{3}{4}$ chiều cao của phần trên đó. Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng không đổi $2,90{\text{ (cm}}^3/\text{phuˊt)}$. Khi chiều cao của cát còn $4\text{ cm}$ thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi $8\pi \text{ (cm)}$. Biết sau $30$ phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài gần với số nào nhất?

Câu 4. Tại một trung tâm thử nghiệm, các kỹ sư sử dụng một bồn chứa nhiên liệu dạng lăng trụ đứng có đáy là hình vuông. Các kích thước của bồn như sau: cạnh đáy bằng $50\sqrt{\pi }\text{ cm}$ và chiều cao bằng $112\text{ cm}$. Bên trong bồn chứa có lắp đặt cố định một bình nén khí. Bình nén khí này được coi là một khối cầu đặc có bán kính bằng $30\text{ cm}$, tiếp xúc với mặt đáy của bồn và có tâm nằm trên trục của lăng trụ. Ban đầu, bồn chứa hoàn toàn không có nhiên liệu. Người ta bắt đầu bơm nhiên liệu lỏng vào bồn với lưu lượng (thể tích bơm được trong mỗi phút) không đổi. Quá trình bơm diễn ra liên tục, và sau đúng $90$ phút, mực nhiên liệu dâng lên vừa chạm tới mặt phẳng miệng bồn. Để thiết lập hệ thống tự động, các kỹ sư cần khoan gắn một cảm biến đo mức trên vách bồn. Cảm biến này phải được đặt ở vị trí có cùng độ cao với mực nhiên liệu tại thời điểm máy bơm đã hoạt động được đúng $15$ phút. Hỏi cảm biến này phải được gắn ở độ cao bao nhiêu cm (tính từ mặt đáy bồn theo phương thẳng đứng)? *(Bỏ qua sự bay hơi hay giãn nở của nhiên liệu; bồn chứa không bị biến dạng và có độ dày không đáng kể. Giả sử nhiên liệu lấp đầy hoàn toàn các khoảng trống và bề mặt chất lỏng luôn là mặt phẳng nằm ngang. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị nếu là số thập phân)*.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)f^{\prime }(x)=1+(2x+1)e^{-f^2(x)+x^2+2x+2}$. Biết $f(0)=\sqrt{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ quay quanh trục $Ox$.