Cho hàm số $f(x)=2x^4+a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R}$) có ba điểm cực trị là $-1;1$ và $3$. Gọi $y=g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=f(x)$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=f(x)$ và $y=g(x)$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Nếu ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$ và ${\int }_1^{3}f(x)dx=-2$ thì ${\int }_0^{3}f(x)dx$ bằng

Nếu ${\int }_0^1[f(x)+2x]dx=2$ thì ${\int }_0^{1}f(x)dx$ bằng

Tính tích phân $I={\int }_1^{2}2x\sqrt{x^2-1}dx$ bằng cách đặt $u=x^2-1$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong ở hình bên dưới. Gọi $x_1,x_2$ lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn $x_2=x_1+2$ và $f(x_1)-3f(x_2)=0$ và đồ thị luôn đi qua điểm $M(x_0;f(x_0))$ trong đó $x_0=x_1-1$; $g(x)$ là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số $f(x)$ và đỉnh của $g(x)$ là điểm $M$. Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ trên đoạn $[x_0;x_1]$, $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị trên đoạn $[x_1;x_2]$. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}$ bằng


Cho ${\int }_1^{3}f(x)dx=\frac{2}{3}$; ${\int }_1^{3}g(x)dx=\frac{3}{4}$. Khi đó ${\int }_1^3[f(x)-g(x)]dx$ có giá trị bằng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^3-x$ và $y=x-x^2$ bằng