Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(1;2;-1)$ và mặt phẳng $(P):x+y-2z+3=0$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$, song song với $(P)$ và cách trục $Oz$ một khoảng ngắn nhất có phương trình là:

Khi gắn hệ trục toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilomét) vào một sân bay, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí $A(3;2;3)$ sẽ hạ cánh tới vị trí $B(8;8;0)$. Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng $AB$) và sân bay (một phần của mặt phẳng $(Oxy)$) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
[IMAGE_1]

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-y+z-10=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$. Đường thẳng $\Delta$ cắt $(P)$ và $d$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A(1;3;2)$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$. Tính độ dài đoạn thẳng $OM$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-5}{-1}$ và mặt phẳng $(P):3x-3y+2z+6=0$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):(m+2)x-(m+1)y+m^{2}z-1=0$, với $m$ là tham số thực. Đường thẳng $\Delta$ luôn cắt mặt phẳng $(P)$ tại điểm cố định, gọi $d$ là khoảng cách từ điểm $I(2;1;3)$ đến đường thẳng $\Delta$. Giá trị lớn nhất của $d$ bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2 x + y + z + 1 = 0 và đường thẳng
x -1 y - 2 z - 3
d: = = . Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua A ( -3; 4;1) vuông góc với d và
2 -1 1
nằm trong ( P ) là
x = -3 + t x = -3 + 2t x = -3 + 2t x = -3 + 2t

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : = = và mặt phẳng
1 2 3
( P ) : 2 x - y + z - 1 = 0 . Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua điểm A ( -1;1; 2 ) , $\Delta$ song song với ( P ) và $\Delta$ cắt d .
Giao điểm của $\Delta$ và mặt phẳng ( Oxz ) là M ( a, b, c ) , khi đó a + b + c bằng