Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường $y=x^3-x$ và $y=x-x^2$ bằng

Cho đồ thị hàm số $(C):y=x^3-2x^2-3x+4$. Đường thẳng $d:y=2x-2$ cắt đồ thị $(C)$ thành $2$ miền có diện tích là $S_1$ và $S_2$ như hình vẽ
[IMAGE_1]

Câu 3. Một tấm kính làm mặt bàn $(H_1)$ có hình dáng tam giác đều với $3$ đỉnh được làm cong $(H_2)$. Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng $12\text{ (dm)}$. Để cắt góc được đẹp thì người ta dùng đường Parabol $(P):y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}$ $(H_3)$ có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác $(H_4)$.



Diện tích mặt kính là một số có dạng $a\sqrt{b}$. Tính tổng $a+b$.

Diện tích hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi các đường $y=x^2+1$, $y=3x-1$ là

Câu 3. Một đại lý chuyên cung cấp các loại Sơn nước đã trang trí một phần trên banner quảng cáo của mình theo một cách khá đặc biệt. Ban đầu họ thiết kế một hình giới hạn bởi parabol $(P)$ có đỉnh $S$ và đường thẳng nằm ngang $AB$; trong đó $SO=AB=4\text{ m}$ với $O$ là trung điểm $AB$.
Họ tiến hành sơn $3$ màu khác nhau lên hình phẳng này theo cách sau:
- Phần trên là phần kẻ sọc được sơn với chi phí $140000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$.
- Phần giữa là hình quạt tâm $O$, bán kính $2\text{ m}$ (phần tô đậm) được sơn với chi phí $150000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$.
- Phần còn lại được sơn với chi phí $160000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$.

Dựng hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $B$ thuộc tia $Ox$ và $S$ thuộc tia $Oy$.

Cho hai hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đó và hai đường thẳng $x=a,x=b$ được tính theo công thức nào dưới đây?

Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=2$ và $(2x+1)f^{\prime }(x)-3x^2=8x(x^2+1)+2(3-f(x))$. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=f(x)$ và $y=f^{\prime }(x)$.