Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $2f(x)f^{\prime }(x)=1+(2x+1)e^{-f^2(x)+x^2+2x+2}$. Biết $f(0)=\sqrt{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,x=1$ quay quanh trục $Ox$.

Một thùng ủ rượu vang bằng gỗ sồi có dạng là một khối tròn xoay. Nếu cắt thùng bởi một mặt phẳng chứa trục đối xứng của thùng thì đường viền ngoài của thiết diện là một phần của đường parabol. Biết thùng có chiều dài $10\text{ dm}$, đường kính hai mặt đáy bằng nhau và bằng $6\text{ dm}$, phần phình to nhất ở giữa thùng có đường kính bằng $8\text{ dm}$. Hãy tính dung tích của thùng ủ rượu này (đơn vị: lít, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (Biết $1\text{ lıˊt}=1{\text{ dm}}^3$ và giả sử bỏ qua độ dày của vỏ gỗ).

Cho hình nón có bán kính đáy $OA=6\text{ cm}$ và chiều cao $SO=8\text{ cm}$. Cắt hình nón đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục $SO$ và cách trục $SO$ một khoảng bằng $3\text{ cm}$ ta được hai phần. Thể tích phần không chứa đỉnh $S$ bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần chục).

[IMAGE:img_q22_cone]

Trong không gian, cho hình chữ nhật $ABCD$, $AB=a$, $AC=2a$. Khi quay hình chữ nhật $ABCD$ quanh cạnh $AD$ thì đường gấp khúc $ABCD$ tạo thành một hình trụ. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng

Cho hình thang $ABCD$ vuông tại $A,B$ với $AB=BC=\frac{AD}{2}=a$. Quay hình thang và miền trong của nó quanh đường thẳng chứa cạnh $BC$. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-5x+4$ và trục $Ox$. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình $(H)$ quanh trục $Ox$.

Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là