Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f(f^2(x)-2f(x)-m)$ có đúng $25$ điểm cực trị?

[IMAGE_1]

[IMAGE_1]

[IMAGE_2]

Đặt $h(x)=f^2(x)-2f(x)\Rightarrow h^{\prime }(x)=2f^{\prime }(x)[f(x)-1]$.
Phương trình $h^{\prime }(x)=0$ có $7$ nghiệm đơn phân biệt ($3$ nghiệm từ $f^{\prime }(x)=0$ là $-2;0;2$ và $4$ nghiệm từ $f(x)=1$ là $a<-2<b<0<c<2<d$).
Ta có $g^{\prime }(x)=h^{\prime }(x)\cdot f^{\prime }(h(x)-m)=0\iff h^{\prime }(x)=0$ hoặc $h(x)\in \{m-2;m;m+2\}$.
Từ bảng biến thiên của $h(x)$ (có $4$ điểm cực tiểu bằng $-1$, $1$ điểm cực đại bằng $3$ và $2$ điểm cực đại bằng $195$), để $g(x)$ có đúng $25$ điểm cực trị thì $3$ đường thẳng $y=m-2,y=m,y=m+2$ phải cắt đồ thị $h(x)$ tại tổng cộng $25-7=18$ điểm bội lẻ, khi và chỉ khi $5\le m<193$.
Với $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \{5;6;\dots ;192\}$, có $192-5+1=188$ giá trị nguyên.