Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $g(x)=f\left(e^x-\frac{x^2+2x}{2}\right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

[IMAGE_1]

Ta có $g^{\prime }(x)=(e^x-x-1)f^{\prime }\left(e^x-\frac{x^2+2x}{2}\right)$.

Xét $g^{\prime }(x)=0\iff (e^x-x-1)f^{\prime }\left(e^x-\frac{x^2+2x}{2}\right)=0\iff [<table><tbody><tr><td>e^x-x-1=0(1)</td></tr><tr><td>e^x-\frac{x^2+2x}{2}=-2(2)</td></tr><tr><td>e^x-\frac{x^2+2x}{2}=1(3)</td></tr><tr><td>e^x-\frac{x^2+2x}{2}=4(4)</td></tr></tbody></table>$.

Ta xét $u(x)=e^x-x-1;v(x)=e^x-\frac{x^2+2x}{2}$.

Ta có $u^{\prime }(x)=e^x-1;u^{\prime }(x)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên của $u(x)$:

[IMAGE_1]

Vậy $u(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ (không đổi dấu qua $x=0$).

Xét hàm số $v(x)=e^x-\frac{x^2+2x}{2}$.

Ta có $v^{\prime }(x)=e^x-x-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bảng biến thiên của $v(x)$:

[IMAGE_2]

Khi đó các phương trình $(2),(3),(4)$ có nghiệm duy nhất và $g^{\prime }(x)$ đổi dấu qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số $g(x)$ có $3$ điểm cực trị.