Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $18$. Gọi $A_1$ là trọng tâm tam giác $BCD$; $(P)$ là mặt phẳng qua $A$ sao cho góc giữa $(P)$ và $(BCD)$ bằng $60^{\circ }$. Các đường thẳng qua $B,C,D$ song song với $A{A}_1$ cắt mặt phẳng $(P)$ lần lượt tại $B_1,C_1,D_1$. Thể tích khối tứ diện $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân có đường chéo $BD$ vuông góc với cạnh bên $BC$, $BD$ là tia phân giác trong của góc $\widehat{ADC}$, $BC=3$, $SA\perp (ABCD)$. Gọi $N$ là một điểm trên cạnh $SC$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A,N$ và song song với $BD$. Biết rằng, nếu mặt phẳng $(\alpha )$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai phần có thể tích bằng nhau thì $\frac{NS}{NC}=\frac{2+a\sqrt{7}}{b}$ ($a,b\in \mathbb{Z}$). Tính $2a+3b$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M$ là điểm đối xứng của $C$ qua $B$ và $N$ là trung điểm của $SC$. Mặt phẳng $(MND)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $S$ có thể tích $V_1$, khối đa diện còn lại có thể tích $V_2$ (tham khảo hình vẽ bên):

Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.

Cho tứ diện $ABCD$ có các cạnh $AB,AC,AD$ vuông góc với nhau từng đôi một và $AB=3a,AC=6a,AD=4a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,CD,BD$. Tính thể tích khối đa diện $AMNP$.

Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích bằng $V$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,D{D}^{\prime }$. Gọi thể tích khối tứ diện $C^{\prime }MNP$ là $V^{\prime }$, khi đó tỉ số $\frac{V^{\prime }}{V}$ bằng

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Trên các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime }$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $A{A}^{\prime }=k{A}^{\prime }E,B{B}^{\prime }=k{B}^{\prime }F$. Mặt phẳng $(C^{\prime }EF)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp $C^{\prime }.A^{\prime }{B}^{\prime }FE$ có thể tích $V_1$ và khối đa diện $ABCEF{C}^{\prime }$ có thể tích $V_2$. Biết rằng $\frac{V_1}{V_2}=\frac{2}{7}$, tìm $k$.

Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $V$. Tính thể tích khối đa diện $BA{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$.