Cho khối hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có thể tích bằng $V$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,D{D}^{\prime }$. Gọi thể tích khối tứ diện $C^{\prime }MNP$ là $V^{\prime }$, khi đó tỉ số $\frac{V^{\prime }}{V}$ bằng

Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Trên các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime }$ lần lượt lấy các điểm $E,F$ sao cho $A{A}^{\prime }=k{A}^{\prime }E,B{B}^{\prime }=k{B}^{\prime }F$. Mặt phẳng $(C^{\prime }EF)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp $C^{\prime }.A^{\prime }{B}^{\prime }FE$ có thể tích $V_1$ và khối đa diện $ABCEF{C}^{\prime }$ có thể tích $V_2$. Biết rằng $\frac{V_1}{V_2}=\frac{2}{7}$, tìm $k$.

Cho khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có thể tích bằng $V$. Tính thể tích khối đa diện $BA{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$.

Cho tứ diện $ABCD$ có thể tích bằng $V$, hai điểm $M$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$; điểm $N$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $AD=3AN$. Tính thể tích tứ diện $BMNP$.

Cho tứ diện $ABCD$ và các điểm $M,N,P$ lần lượt thuộc các cạnh $BC,BD,AC$ sao cho $BC=4BM,AC=3AP,BD=2BN$. Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện $ABCD$ được phân chia bởi mặt phẳng $(MNP)$.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$, tâm của đáy là $O$. Gọi $M,N$ tương ứng là trung điểm các cạnh $SA,SC$. Gọi $E$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $(BMN)$. Tính thể tích $V$ của khối chóp $O.BMEN$.

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là các điểm thuộc các cạnh $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ sao cho $AM=2M{A}^{\prime },N{B}^{\prime }=2NB,PC=P{C}^{\prime }$. Gọi $V_1,V_2$ lần lượt là thể tích của hai khối đa diện $ABCMNP$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }MNP$. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$.