Trong không gian $Oxyz$, cho $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa cạnh $BC$ và vuông góc với $(ABC)$. $(C)$ là đường tròn đường kính $BC$ và nằm trong mặt phẳng $(P)$. Gọi $S$ là một điểm bất kỳ nằm trên $(C)$ khác $B,C$. Khi đó khoảng cách từ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$ đến mặt phẳng $(Q):2x-3y+z+1=0$ bằng

Chọn C.
Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $x+y+z=1$ với 1 vectơ pháp tuyến là ${\vec{n}}_1=(1;1;1)$.
Ta có $\overrightarrow{BC}=(0;-1;1)$. Một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là ${\vec{n}}_2=[{\vec{n}}_1,\overrightarrow{BC}]=(2;-1;-1)$.
Suy ra phương trình mặt phẳng $(P)$ là $2x-y-z+1=0$.
Gọi $H$ là trung điểm $BC$, $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SABC$, ta có $H\left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ và $IH$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.
Như vậy phương trình đường thẳng $IH$ là $\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=\frac{1}{2}-t\\ z=\frac{1}{2}-t\end{array}$.
Gọi $I\left(2t;\frac{1}{2}-t;\frac{1}{2}-t\right)\in IH$, ta có:
$$IA=IB\iff (2t-1{)}^2+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2=(2t{)}^2+{\left(t+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2$$
$$\iff t=\frac{1}{6}\iff I\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right).$$
Khi đó khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(Q)$ bằng:
$$d(I,(Q))=\frac{|2\cdot \frac{1}{3}-3\cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+1|}{\sqrt{2^2+(-3{)}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{14}}.$$