Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(1;1;1)$, $B(0;1;2)$, $C(-2;0;1)$ và mặt phẳng $(P):x-y+z+1=0$. Gọi $N$ là điểm thuộc $(P)$ sao cho $S=2N{A}^2+N{B}^2+N{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài $ON$ bằng

Chọn điểm $I$ sao cho $2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$.
Gọi $I(a;b;c)$, ta có:
$$\{\begin{array}{l}2(1-a)-a-2-a=0\\ 2(1-b)+1-b-b=0\\ 2(1-c)+2-c+1-c=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=0\\ b=\frac{3}{4}\\ c=\frac{5}{4}\end{array}\Rightarrow I\left(0;\frac{3}{4};\frac{5}{4}\right).$$
Khi đó:
$$S=2N{A}^2+N{B}^2+N{C}^2=4N{I}^2+2I{A}^2+I{B}^2+I{C}^2.$$
Do $I$ cố định nên $S$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $NI$ nhỏ nhất, tức $N$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$.
Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $(P)$ có phương trình: $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\frac{3}{4}-t\\ z=\frac{5}{4}+t\end{array}$.
Thay vào $(P)$:
$$t-\left(\frac{3}{4}-t\right)+\frac{5}{4}+t+1=0\iff 3t+\frac{3}{2}=0\iff t=-\frac{1}{2}.$$
Suy ra $N\left(-\frac{1}{2};\frac{5}{4};\frac{3}{4}\right)\Rightarrow ON=\sqrt{{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{5}{4}\right)}^2+{\left(\frac{3}{4}\right)}^2}=\frac{\sqrt{38}}{4}.$