Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-2{)}^2=16$ cắt mặt phẳng $(Oxy)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Số điểm có tọa độ nguyên thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến tới $(C)$ sao cho góc tạo bởi hai tiếp tuyến đó bằng $60^{\circ }$ là:

Chọn D.
Mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình $z=0$. Giao tuyến của $(S)$ và $(Oxy)$ là đường tròn $(C)$ trong mặt phẳng $(Oxy)$:
$x^2+y^2+(-2{)}^2=16\iff x^2+y^2=12$, tâm $O(0;0)$ và bán kính $r=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
Gọi $M(x;y)$ thuộc $(Oxy)$ sao cho góc giữa hai tiếp tuyến từ $M$ tới $(C)$ bằng $60^{\circ }$.
- Trường hợp 1: Góc giữa hai tia tiếp tuyến bằng $60^{\circ }$, khi đó $\sin 30^{\circ }=\frac{r}{OM}\Rightarrow OM=\frac{r}{\sin 30^{\circ }}=2r=4\sqrt{3}\Rightarrow x^2+y^2=48$.
Phương trình $x^2+y^2=48$ không có nghiệm nguyên nào.
- Trường hợp 2: Góc giữa hai tia tiếp tuyến bằng $120^{\circ }$ (góc tạo bởi hai đường tiếp tuyến bằng $60^{\circ }$), khi đó $\sin 60^{\circ }=\frac{r}{OM}\Rightarrow OM=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\Rightarrow x^2+y^2=16$.
Các nghiệm nguyên của $x^2+y^2=16$ là $(\pm 4;0)$ và $(0;\pm 4)$ (gồm 4 điểm).
Vậy có tất cả 4 điểm thỏa mãn.