Cho hàm số $y=f(x)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(x^2+2x-2)=3m+1$ có nghiệm thuộc đoạn $[0;1]$ là

Chọn D.
Đặt $t=x^2+2x-2$. Với $x\in [0;1]$, hàm số $t(x)$ đồng biến vì $t^{\prime }(x)=2x+2>0$.
Ta có $t(0)=-2$ và $t(1)=1$, suy ra $t\in [-2;1]$.
Quan sát đồ thị hàm số $y=f(t)$ trên đoạn $[-2;1]$, ta thấy giá trị nhỏ nhất là $f(1)=0$ và giá trị lớn nhất là $f(-2)=4$.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$0\le 3m+1\le 4\iff -1\le 3m\le 3\iff -\frac{1}{3}\le m\le 1$.
Vậy tập hợp các giá trị của $m$ là $\left[-\frac{1}{3};1\right]$.