Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3+2m{x}^2+3(m-1)x+2$ cắt đường thẳng $y=2-x$ tại ba điểm phân biệt $A(0;2);B_1;B_2$ sao cho gốc tọa độ $O$ và $B_1;B_2$ là ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 2. Tính tổng các phần tử của $S$.

Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3+2m{x}^2+3(m-1)x+2=2-x\iff x[x^2+2mx+(3m-2)]=0$
Để có ba giao điểm phân biệt thì phương trình $g(x)=x^2+2mx+3m-2=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }=m^2-3m+2>0\\ g(0)=3m-2\ne 0\end{array}\iff m\in (-\infty ;1)\cup (2;+\infty )\setminus \{2/3\}$
Khi đó $B_1,B_2$ nằm trên đường thẳng $\Delta :x+y-2=0$.
Khoảng cách từ $O$ đến $\Delta$ là $d(O,\Delta )=\frac{|-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$.
Diện tích $S_{O{B}_1{B}_2}=\frac{1}{2}d(O,\Delta )\cdot B_1{B}_2=2\iff \frac{\sqrt{2}}{2}{B}_1{B}_2=2\iff B_1{B}_2=2\sqrt{2}$.
Ta có $B_1{B}_2=\sqrt{2}|x_1-x_2|=2\sqrt{2}\iff |x_1-x_2|=2\iff (x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=4$.
Theo Vi-et: $x_1+x_2=-2m,x_1{x}_2=3m-2$.
Do đó: $4m^2-4(3m-2)=4\iff m^2-3m+1=0$.
Phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện, theo định lý Vi-et tổng hai nghiệm là $m_1+m_2=3$.