Cho hai hàm số $y=\frac{x-1}{x}+\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}$ và $y=e^{-x}+2021+3m$ ($m$ là tham số thực) có đồ thị lần lượt là $(C_1)$ và $(C_2)$. Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc $(-2021;2020]$ để $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt?

Chọn B.
Xét hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x}+\frac{x}{x+1}+\frac{x+1}{x+2}-e^{-x}$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-2)$, $(-2;-1)$, $(-1;0)$, $(0;+\infty )$. Trên mỗi khoảng trong ba khoảng đầu, hàm số nhận mọi giá trị thực nên luôn có đúng 3 giao điểm. Để phương trình có đúng 3 nghiệm thì trên $(0;+\infty )$ phương trình vô nghiệm, điều này xảy ra khi $2021+3m\ge 3\iff m\ge -\frac{2018}{3}\approx -672,67$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn trong $(-2021;2020]$ là $2020-(-672)+1=2693$.