Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên như sau.
Có bao nhiêu giá trị nguyên $m$ để phương trình $f\left(\sqrt{x-1}-1\right)+x+3-4\sqrt{x-1}=m$ có hai nghiệm phân biệt?

Từ bảng biến thiên của hàm bậc ba $f(x)$ đạt cực đại tại $(-1;3)$ và cực tiểu tại $(1;-1)$, ta xác định được $f(x)=x^3-3x+1$. Phương trình đã cho viết lại thành $f\left(\sqrt{x-1}-1\right)+{\left(\sqrt{x-1}-2\right)}^2=m$. Đặt $t=\sqrt{x-1}-1\ge -1$ (mỗi $t\ge -1$ cho duy nhất một $x\ge 1$), phương trình trở thành $g(t)=f(t)+(t-1{)}^2=t^3+t^2-5t+2=m$. Trên $[-1;+\infty )$, $g^{\prime }(t)=3t^2+2t-5=0\iff t=1$; $g(-1)=7$, $g(1)=-1$, ${\lim }_{t\to +\infty }g(t)=+\infty$. Để phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $t\ge -1$ thì $-1<m\le 7$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{0;1;2;3;4;5;6;7\}$, có $8$ giá trị nguyên của $m$.