Cho $a,b$ là hai số thực thay đổi thỏa mãn $1<a<b\le 2$, biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2{\log }_a(b^2+4b-4)+{\log }_{\frac{b}{a}}^{2}a$ là $m+3\sqrt[3]{n}$ với $m,n$ là số nguyên dương. Tính $S=2m+n$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=x^2(x^2-4)(x^2-3x+2)(x-3)$. Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Gọi $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-4x^2-x+4$. Tính $P=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$.

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=|3x^4-4x^3-12x^2+m|$ có 5 điểm cực trị?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=x^2(x-1)(x-2{)}^3,\forall x\in \mathbb{R}$. Hàm số $y=f(x)$ có bao nhiêu điểm cực đại?

Xét chuyển động của một tàu lượn trên đoạn đường ray có hình dạng một phần đồ thị hàm số $y=f(x)=\frac{135x-x^2-x^3}{200}$ với $x\ge 0$, trong đó $x$ là khoảng cách theo phương ngang kẻ từ $A$, $y$ là độ cao tương ứng của tàu lượn so với phương ngang $AB$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ (đơn vị trên trục là 10 m, các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét).

Cho hàm số $y=f(x)=-x^3+3x^2-4$ có đồ thị là $(C)$. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $(C)$ là đồ thị hàm số $g(x)=ax+b$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $h(x)=\sqrt{-x(ax+b)}$. Tính giá trị $\sqrt{8(300M-20m)}$.